Dai prezzi ai pesi

1Notazione e convenzioni

Il paniere ha n titoli osservati su T sedute. Tutti i vettori sono colonne; l'apice indica la trasposta e 1 è il vettore di uni.

L'anno di borsa vale 252 sedute. L'annualizzazione è aritmetica — media per 252, deviazione standard per la radice di 252 — che è la convenzione della teoria media–varianza, dove media e varianza sono i momenti su cui si ottimizza. Non è un tasso di crescita composto e non deve esserlo.

2Dati e costruzione del campione

2.1Fonte e serie grezze

I prezzi sono chiusure giornaliere di Yahoo Finance, richieste con rettifica per dividendi e frazionamenti attiva, a partire dal 1° gennaio 2000. Nessun altro dato entra nelle stime: l'anagrafica del catalogo — classe di attivo, paese, settore — serve solo agli indici strutturali della sezione 9, mai all'ottimizzazione.

La storia si ferma alla fine di ieri: ogni riga datata oggi viene esclusa, quale che sia la borsa e quale che sia l'ora. Un prezzo intraday non è una chiusura, ma la ragione del taglio unico è un'altra: un confine che si sposta durante la giornata — a ogni chiusura di borsa, e a ogni scadenza della cache dei prezzi — fa uscire pesi diversi da due analisi identiche richieste a un'ora di distanza. Il confine è la mezzanotte di Greenwich, l'unico istante dopo il quale una giornata è conclusa su ogni mercato, comprese cripto e valute che non chiudono mai. Costa una seduta di attualità e in cambio rende l'analisi riproducibile: gli stessi titoli, nello stesso giorno, danno gli stessi numeri. Il periodo effettivamente usato è sempre dichiarato in pagina.

2.2Pulizia

Un prezzo nullo o negativo manda il rendimento a infinito, e da lì l'infinito si propaga a media e covarianza fino a rendere la matrice priva di senso senza che nulla lo segnali. I prezzi minori o uguali a zero sono quindi mascherati prima di ogni calcolo, e il loro numero viene riportato nella scheda dei dati.

2.3Calendario condiviso

Titoli quotati su borse diverse non hanno le stesse date: Milano chiude il 26 dicembre, New York no. L'unione delle date contiene la festività di ogni singola borsa; l'intersezione esatta, con cinquanta titoli, si svuota — se ciascuno salta il 5% delle sedute, resta lo 0,95⁵⁰ ≈ 7% del calendario.

Il calendario del paniere si definisce allora sulle BORSE, non sui titoli, e per ogni borsa lo dichiara la borsa stessa. Sia ℬ l'insieme delle m piazze su cui il paniere è quotato e 𝒮_b l'insieme delle sedute della piazza b, preso dal suo calendario ufficiale: t è una seduta del paniere quando è una seduta di almeno una quota q_c = 0,8 delle piazze.

Le sedute di una piazza sono un fatto della piazza, e vanno chieste a lei: il 4 luglio New York è chiusa e Milano no, il lunedì dell'Angelo è il contrario, e nessuna delle due cose dipende da quali titoli uno abbia scelto di analizzare. Sono presi da exchange_calendars, la libreria di riferimento per i calendari di borsa. Dedurli invece dai titoli presenti — «la piazza era aperta se ha scambiato l'80% dei suoi titoli» — significava che un titolo aggiunto al paniere, e magari scartato dall'ottimizzatore, poteva togliere sedute a tutti gli altri: otto sedute non quotate dal nuovo arrivato facevano scendere le osservazioni di TUTTI da 6.697 a 6.689, e le medie si spostavano. Per una piazza di cui il calendario non è noto si torna a contare i titoli, ed è l'unico caso rimasto in cui il paniere tocca il calendario.

Le caselle che restano vuote dentro il calendario si riempiono riportando l'ultima quotazione nota, per non più di 5 giorni. Ciò che resta scoperto dopo il riporto è una sospensione vera: quella data esce, perché il paniere non è osservabile tutto insieme.

I rendimenti sono semplici e si calcolano sul calendario risultante:

Un rendimento che scavalca un buco di più di 15 giorni di calendario viene scartato: sarebbe la variazione di due settimane messa in fila con quelle di un giorno.

2.4Titoli esclusi, e perché

Due regole tolgono titoli dal campione, e in entrambi i casi la pagina scrive quale e per quale motivo.

• Un titolo che dentro il calendario ha prezzi propri per meno del 50% delle date non porta prezzi, porta riporti: la sua volatilità stimata risulta più bassa del vero e il portafoglio a minima varianza gli si accumula sopra.
• Un titolo la cui esclusione raddoppierebbe la storia utilizzabile sta da solo pagando più di tutti gli altri messi insieme. La soglia del raddoppio non è una taratura fine: separa «questo titolo costa un pezzo di storia» da «questo titolo costa la storia».

Sotto 30 osservazioni comuni non si stima nulla: non c'è materiale nemmeno per cominciare.

3Stima dei momenti

3.1Perché non la covarianza campionaria

La covarianza campionaria è pessimamente condizionata quando le osservazioni non sono molte più degli asset: gli autovalori più piccoli sono sistematicamente sottostimati, l'ottimizzatore li scambia per direzioni a rischio quasi nullo e ci concentra sopra il portafoglio. È il motivo per cui la frontiera campionaria è notoriamente instabile e i pesi saltano da un giorno all'altro.

3.2Correlazioni ammorbidite

Sia X la matrice T × n dei rendimenti e X_c la stessa centrata per colonne. Dalla covarianza campionaria non distorta si estraggono le deviazioni standard e la matrice di correlazione:

Le correlazioni si tirano verso zero di una quota δ che dipende solo da quanta storia c'è — non dal numero di titoli:

e la covarianza usata a valle si ricompone con le deviazioni standard campionarie, che restano quelle di ciascun titolo:

3.3Definita positività

Errori di arrotondamento possono lasciare autovalori leggermente negativi, e allora w′Σw può risultare negativo con radice quadrata di un numero negativo a valle. La matrice viene simmetrizzata e gli autovalori troncati dal basso a λ_max · 10⁻¹². Il numero di condizionamento risultante viene riportato nella diagnostica.

3.4Storie di lunghezza diversa

Il campione comune è la scelta più prudente e la più sprecona: la finestra parte dalla prima quotazione del titolo più giovane, quindi un ETF nato nel 2021 butta via quindici anni di storia di tutti gli altri.

Si stima allora ogni casella sui titoli che quella casella riguarda: la media di un titolo sulla SUA serie, tutta quanta, e la correlazione di una coppia sui giorni in cui c'erano tutti e due. Nessun titolo giovane accorcia più niente a nessuno, e — questa è la proprietà che conta — aggiungere un titolo all'analisi non può cambiare nessuno dei numeri degli altri, perché nessuno di quei numeri lo ha mai guardato.

Le due obiezioni classiche a questa scelta sono note, e vanno affrontate. La prima: numeri stimati su campioni diversi possono comporre una matrice non semidefinita positiva, e l'ottimizzatore troverebbe subito le direzioni a varianza negativa, perché sono esattamente quelle che cerca. Ci si difende ammorbidendo le correlazioni verso zero (§3.2), il che alza gli autovalori, e aggiungendo — se dopo questo il più piccolo è ancora negativo — la correzione MINIMA che lo riporta sopra lo zero. Con sovrapposizioni che differiscono di qualche giorno su migliaia non serve quasi mai.

La seconda obiezione e' che le medie diventano incomparabili fra loro: un titolo quotato da due anni porta la media dei suoi due anni, e se quei due anni sono stati un mercato toro la sua media e' alta per un motivo che non e' suo — e l'ottimizzatore, che le medie se le beve, gli si butta sopra. E' il danno che il metodo di Stambaugh (1997) corregge regredendo il titolo giovane sui titoli con storia piu' lunga DEL PANIERE, ed e' proprio quel «del paniere» a essere inaccettabile qui: aggiungere un titolo con storia piena a un paniere che ne conteneva uno quotato piu' tardi spostava la media di quest'ultimo di 0,013 punti l'anno, e con lei l'ultima cifra dei numeri in pagina.

Il riferimento e' allora uno che il paniere non puo' toccare: l'INDICE DEL MERCATO su cui quel titolo e' quotato — l'S&P 500 per New York, l'Euro Stoxx 50 per l'area euro, il Nikkei per Tokyo. Ogni titolo si scompone in r_i = α_i + β_i B_i + e_i: un pezzo di mercato e una parte sua. Il primo pezzo si puo' allungare, perche' l'indice esiste su TUTTO il periodo dell'analisi, anche negli anni in cui il titolo non c'era ancora; il secondo no, e resta misurato dove il titolo c'e' stato. Da qui media, varianza e covarianza:

media_i = α_i + β_i · media(B_i su tutto il periodo)  ·  var_i = β_i² var(B_i su tutto) + var(e_i)  ·  cov_ij = β_i β_j cov(B_i, B_j su tutto) + cov(e_i, e_j sui giorni di entrambi)

Non si inventa nessun prezzo: si dice soltanto che di quel titolo si sa quanto si muove col suo mercato e quanto ha oscillato per conto proprio, e che il mercato lo si conosce da venticinque anni. Un titolo che c'e' su tutto il periodo non viene toccato — «l'indice su tutto» e «l'indice nel suo periodo» sono la stessa cosa, e la scomposizione dei minimi quadrati rende β²var(B) + var(e) esattamente la sua varianza campionaria: l'allungamento vale zero. Non serve quindi nessuna soglia fra «storia corta» e «storia lunga», e non esistono due titoli quasi identici trattati in modo diverso perche' uno sta un mese sopra una soglia. Misurato: un titolo quotato dal 2023, in mezzo a titoli con venticinque anni di storia, passa da 16,9% a 23,0% di volatilita' annua — quella dei suoi pari — perche' eredita le crisi del suo mercato che non ha vissuto, e il suo rendimento atteso scende da 28,5% a 20,7%.

Ogni pezzo del conto — il beta, i momenti dell'indice, le date della sovrapposizione — dipende soltanto da quel titolo e dal suo indice; la covarianza dei residui soltanto dalla coppia. Aggiungere un titolo all'analisi non cambia nessuna di quelle quantita'. Sotto le 60 osservazioni in comune con l'indice il beta e' rumore e non si allunga niente; il beta e' troncato a ±3, perche' oltre non descrive un titolo ma un errore nei dati; se l'indice non arriva dalla fonte, quel mercato resta senza allungamento e l'analisi continua. La pagina dei risultati dice con i nomi quali titoli sono stati allungati.

Il metodo di Stambaugh (1997) resta implementato e si accende da una variabile d'ambiente, per chi preferisca la stima più fine alla stabilità. Ordinati i titoli per lunghezza di storia, sul blocco lungo L si stimano μ_L e Σ_LL con tutte le sue osservazioni; sul periodo di sovrapposizione si regredisce il blocco corto S su quello lungo,

e si ricostruiscono i momenti del blocco corto usando i momenti pieni del blocco lungo:

Il centraggio sulla media del periodo di sovrapposizione nella (7) è ciò che rende la (8) una correzione vera: la media del titolo giovane viene riportata al periodo lungo attraverso il suo beta, cioè corretta per il fatto che la sua finestra di quotazione fosse un mercato toro o orso.

La semidefinita positività del risultato è algebrica, non numerica. La matrice congiunta si fattorizza come congruenza di una diagonale a blocchi:

Finché Σ_LL e Σ_ε sono semidefinite positive, lo è anche il risultato.

3.5Regolarizzazione della regressione (metodo opzionale)

Con cento titoli lunghi e duecento giorni di sovrapposizione i minimi quadrati ordinari sono a rango insufficiente: si adatterebbero al rumore e i beta non varrebbero niente. Si regredisce quindi sulle prime k componenti principali di Σ_LL, ortogonali per costruzione, con

cioè almeno dieci osservazioni di sovrapposizione per componente. I coefficienti tornano poi sullo spazio dei titoli come B = β′V′, dove V raccoglie le componenti in colonna. Con sovrapposizione abbondante e poche componenti richieste il risultato coincide con i minimi quadrati ordinari.

Sotto 20 giorni di sovrapposizione non si regredisce affatto: un beta sbagliato è peggio di un titolo in meno, perché si propaga a tutta la sua riga di covarianza. Quei titoli restano fuori e la pagina lo dichiara.

3.6Annualizzazione

4Tasso privo di rischio

Lo Sharpe è rendimento in eccesso diviso volatilità, quindi il tasso non è un dettaglio: è metà del numeratore. Il tasso deve inoltre essere quello della valuta in cui è misurato il rendimento — sottrarre il SOFR a un portafoglio quotato in euro non è un'approssimazione, è un errore di unità di misura.

4.1Fonti e convenzione

Si usano i tassi overnight ufficiali: €STR pubblicato dalla Banca Centrale Europea per l'euro, SOFR pubblicato dalla Federal Reserve di New York per il dollaro. Entrambi sono quotati in convenzione ACT/360 e vengono riportati su anno civile prima di entrare nello Sharpe:

Senza quel passaggio il tasso resterebbe sottostimato dell'1,4%. Il valore usato, la fonte e il giorno di riferimento sono scritti accanto allo Sharpe di ciascun portafoglio: chi confronta due numeri deve poter vedere se sono stati misurati con la stessa asta.

4.2Panieri multivaluta

Quando la valuta di riferimento è scelta da chi analizza si usa il tasso di quella valuta e basta: il tasso privo di rischio è quanto rende tenere i soldi fermi, e i soldi fermi li tiene chi analizza, nella sua valuta.

Per le chiamate interne, dove nessuno ha scelto, il paniere è già misurato in un'unità composita — i rendimenti non sono convertiti al cambio — e il corrispettivo privo di rischio di quella unità è la media dei tassi delle stesse valute. I pesi corretti sarebbero quelli del portafoglio, che però si conoscono solo dopo aver ottimizzato mentre l'ottimizzazione ha bisogno del tasso: si usano allora le quote dell'universo, cioè quanti titoli per valuta, e la parte non coperta da una fonte primaria viene ripesata su quella coperta.

dove π_v è la quota di titoli quotati nella valuta v e 𝒞 l'insieme delle valute con una fonte primaria configurata. Se nessuna fonte risponde, il tasso vale zero e la pagina lo dichiara: lo Sharpe torna a essere il rapporto fra rendimento e oscillazione.

5Metriche di portafoglio

5.1Rendimento, rischio, Sharpe

5.2Valore a rischio

Il VaR è storico, non parametrico: si costruisce la serie dei rendimenti giornalieri del portafoglio e se ne prende il percentile. Per il livello di confidenza c,

calcolato ai livelli c ∈ {0,90; 0,95; 0,99}. I tre livelli non si ripetono a vicenda: il 90 dice com'è una giornata storta ordinaria, il 99 com'è una giornata brutta davvero, e la distanza fra i due dice quanto pesa la coda — cioè se il portafoglio perde piano o a strappi.

6I due portafogli

6.1Insieme ammissibile

Sola posizione lunga e capitale interamente investito. I pesi minimi scritti da chi analizza entrano come limite inferiore di ciascuna variabile:

Nessuna vendita allo scoperto, nessuna leva, nessun tetto per singolo titolo. L'insieme è un politopo convesso e compatto, non vuoto finché 1′m ≤ 1.

6.2Minima varianza

Si minimizza la varianza e non la volatilità: la radice quadrata non sposta il punto di minimo ma peggiora il condizionamento del gradiente vicino allo zero. Il problema è un QP convesso e si risolve con SLSQP da due punti di partenza — pesi uguali e inverso della varianza — tenendo il migliore.

6.3Portafoglio tangente

Massimizzare direttamente il rapporto di Sharpe è un problema non convesso: un solutore partito da un punto solo può fermarsi su un massimo locale, e il punto «ottimale» finisce fuori dalla frontiera. Si usa allora la riformulazione di Cornuéjols e Tütüncü. Posto l'eccesso e = μ − r_f1, se max_i e_i > 0 si risolve

e si normalizza:

Il problema (19) è convesso, quindi ha un unico minimo globale, e la (20) restituisce esattamente il portafoglio tangente: il rapporto di Sharpe è invariante di scala, ed è questo che rende lecita la normalizzazione finale.

Quando nessun titolo batte il tasso privo di rischio la tangente non esiste — nessuna retta uscente da r_f tocca la frontiera da sopra — e la pagina mostra il portafoglio a minima varianza dichiarando il caso.

6.4I minimi nella variabile ausiliaria

In (19) non si ottimizza sui pesi ma su y, e un limite inferiore su w non è un limite inferiore su y: dipende da 1′y, che è a sua volta una variabile. La condizione si riscrive però in y, e viene fuori lineare — quindi il problema resta un QP convesso:

6.5Vincoli esatti per costruzione

Un solutore numerico rispetta i limiti entro la sua tolleranza, e «entro la tolleranza» non è «sempre»: un peso può uscire a 9,9998% dove il minimo chiesto era 10%. Su un vincolo scritto da chi analizza non è accettabile. Ogni portafoglio ammissibile si scrive in un modo solo,

e la corrispondenza è biunivoca. La soluzione del solutore viene quindi riportata su questa parametrizzazione: si prende la parte eccedente i minimi, la si riporta a somma uno e si ricostruisce w. Il risultato rispetta i minimi alla cifra, non alla tolleranza.

6.6Selezione fra candidati

Oltre alla soluzione del QP si calcolano due massimizzazioni dirette da punti di partenza diversi, come rete di sicurezza. Fra i candidati vince il rapporto di Sharpe più alto arrotondato alla sesta cifra e, a parità, il rendimento più alto: a parità di prezzo in oscillazione, più risultato. Senza la tolleranza due Sharpe non sarebbero mai uguali — differiscono nella quindicesima cifra — e il secondo criterio non entrerebbe mai in gioco.

7Frontiera efficiente

7.1Il problema parametrico

Per ogni rendimento obiettivo si risolve un QP convesso:

con R_k equispaziati fra il rendimento del portafoglio a minima varianza e quello dello spigolo estremo. Senza vincoli lo spigolo è il singolo titolo migliore; con i minimi non si può più mettere tutto su uno solo, e diventa «tutto quello che avanza sul migliore».

Il ramo efficiente usa 70 punti verso l'alto; il ramo dei portafogli dominati ne usa 40 verso il basso, sostituendo arg max con arg min nella scelta dello spigolo. I due rami insieme sono il contorno della regione ammissibile, la forma a proiettile dei manuali.

7.2Ordine a raffinamento

I punti non si risolvono da sinistra a destra ma per bisezione successiva: prima i due estremi, poi il punto di mezzo, poi i due punti di mezzo dei due tratti, e così via. Due conseguenze utili. La prima: ogni punto nuovo sta fra due già risolti, quindi parte dall'interpolazione delle loro soluzioni — lungo la frontiera i pesi si spostano in modo quasi lineare, e il solutore arriva quasi già convergente. La seconda: se il tempo finisce, quello che si perde è la fittezza della curva, non la sua estensione.

Il controllo del tempo si fa prima di cominciare un punto, non dopo: si stima il costo come media dei punti già risolti e non si comincia il successivo se non c'è spazio per due. I primi 17 punti si risolvono comunque — sotto quella soglia non c'è una curva, c'è una spezzata.

8Nuvola di portafogli casuali

Lo sfondo del grafico è un campione di portafogli ammissibili estratti a caso. Un Dirichlet uniforme sembrerebbe la scelta ovvia, ma con n asset i pesi si concentrano attorno a 1/n: la nuvola risulta una macchia centrale che non arriva mai vicino alla frontiera, facendola sembrare staccata dai dati.

Si estrae quindi da una mistura di Dirichlet simmetriche a concentrazione variabile:

con probabilità (0,25; 0,30; 0,25; 0,20). Gli α piccoli producono portafogli concentrati, vicini agli spigoli del simplesso; gli α grandi portafogli distribuiti. Insieme coprono davvero la regione ammissibile.

Le estrazioni sono 40 000 fino a trenta titoli e 20 000 oltre, con seme fisso — la stessa analisi restituisce sempre la stessa immagine — e si calcolano a blocchi di 4 000 scenari, così la memoria non dipende dal numero di estrazioni.

Nel disegno ogni scenario è un punto, colorato dal proprio indice di Sharpe su scala viridis. Non finiscono tutti nell'immagine: se ne disegna uno ogni k, con k fisso e non casuale, fino a un massimo di dodicimila punti. Il campione è quindi regolare — stessa forma e stessa densità relativa dell'insieme completo — e la memoria richiesta dal disegno non cresce con il numero di estrazioni.

9I tre indici strutturali

Accanto ai due portafogli la pagina mostra tre numeri da 0 a 100 che non contengono rendimento e non contengono rischio. Rispondono tutti e tre alla stessa domanda posta a livelli diversi — quanto il portafoglio poggia su una cosa sola — e si chiamano indipendenza, concentrazione e varietà.

9.1La curva comune

Due dei tre indici partono da un conteggio effettivo e lo trasformano in voto con la stessa funzione, così che «54» significhi la stessa cosa nelle due schede:

arrotondata all'intero e troncata a [0, 100]. La curva satura: 1 conteggio effettivo vale 0, 2 valgono 28, 3 valgono 49, 5 valgono 74, 8 valgono 90. Passare da otto a dieci sposta poco, ed è giusto — la differenza vera sta fra uno e tre.

9.2Indipendenza

Quanti titoli distinti si stanno tenendo in pratica. Dalla matrice di correlazione ricavata dalla covarianza già stimata,

si prendono gli autovalori λ₁, …, λ_n e si conta il numero effettivo di direzioni indipendenti come rapporto di partecipazione dello spettro:

L'uguaglianza a destra vale perché la traccia di una matrice di correlazione è n. Il valore è troncato a [1, n] e il voto è v(N_ind). Cinque titoli tutti correlati a 0,8 danno 1,4: cinque nomi, una scommessa sola.

La scheda mostra anche la correlazione media di tutte le coppie e la coppia più somigliante, che sono lo stesso C letto in modo diverso — nessuna misura in più.

9.3Concentrazione

Quanto il portafoglio dipende da pochi titoli. Sull'allocazione ottimale w si calcola l'inverso dell'indice di Herfindahl:

ed è il numero di titoli che, tutti di pari peso, darebbero la stessa concentrazione: dieci al 10% danno dieci, uno al 90% con altri nove residuali dà circa uno. Il voto è ancora v(N_eff).

Indipendenza e concentrazione possono dare risposte opposte, e servono entrambe: dieci titoli identici sono poco indipendenti ma poco concentrati; due titoli scorrelati sono indipendenti ma molto concentrati. Il numero grande della scheda va nel verso del voto — più alto, peso più distribuito — mentre la parola che lo accompagna va nel verso opposto, perché un peso poco distribuito è una concentrazione alta.

9.4Varietà

Su quante categorie diverse poggia il portafoglio ottimale. Si guarda attraverso tre lenti — tipo di investimento, area geografica, settore — ricavate dall'anagrafica del catalogo e, per i fondi, dal nome dello strumento.

Per ogni lente, dette q₁, …, q_K le quote normalizzate sulla parte classificata, il numero effettivo di categorie è ancora un inverso di Herfindahl:

Le due scale che ne escono sono però diverse, e di proposito. Il tipo ha un denominatore noto — le famiglie sono tre: azioni, obbligazioni, materie prime — quindi il voto può dire «una su tre» invece di «lontano dal massimo teorico»:

Area e settore non hanno un totale fissato — le aree del mondo sono cinque, i settori undici — e usano una curva satura tarata su quante categorie esistano davvero, appoggiata su un fondo di scala non nullo:

Una lente entra nel voto solo se copre almeno il 50% del portafoglio: sotto quella soglia sa troppo poco, e contarla male è peggio che non contarla. Le percentuali mostrate a schermo si riferiscono invece sempre alla sola parte a cui la domanda si applica — «di che settore sei?» a un lingotto d'oro non è una domanda senza risposta, è una domanda che non si pone.

9.5Pesi delle lenti e portafogli di una classe sola

Nel caso ordinario la classe di attivo porta tre quarti del voto e la geografia un quarto: è la classe di attivo a decidere da che tipo di rischio dipende il portafoglio. Il settore si mostra ma non pesa — è la lente più rumorosa, e ripete quello che la concentrazione dice già meglio.

Un paniere di sole azioni ha però per costruzione una sola classe di attivo, e con i pesi ordinari la lente principale varrebbe 33 portandosi dietro tre quarti del giudizio. Ma quella varietà esiste — non al livello della classe di attivo, un piano sotto, nei settori e nelle aree. Detto

il grado di «classe sola», i pesi scivolano con continuità fra i due assetti:

Il voto grezzo è la media pesata delle lenti che pesano davvero, e su di essa agiscono due correttivi.

Il correttivo azionario. Il conteggio delle categorie è cieco al verso: 80% azioni e 20% obbligazioni ha la stessa varietà del suo contrario, ma il secondo è un portafoglio senza motore. Detta a la quota azionaria del classificato,

La penalità da classe sola. Spostare il peso non è assolvere: un portafoglio tutto azionario, per quanto ben distribuito fra settori, dipende da una cosa sola — se scende la borsa scende tutto insieme.

e il voto finale è

Il tetto per chi ha una classe sola resta l'80% di quello di chi ne ha davvero più di una, e adesso lo dicono due cose insieme invece di un moltiplicatore solo: il tipo inchiodato a 33 dentro la media pesata, e la (35) per il resto. Infatti 0,20 · 33 + 0,80 · 100 = 86,6 e 86,6 · 0,92 = 80.

Quando nessuna lente supera la soglia di copertura la varietà non viene giudicata: la scheda resta senza voto invece di mostrarne uno inventato.

10BlissPoint Score

La media aritmetica dei tre indici disponibili, arrotondata:

Le tre lenti pesano uguale: non c'è ragione per dire che una conti più delle altre, e una pesatura arbitraria sarebbe più difficile da spiegare che da scrivere. La varietà può mancare — un portafoglio di soli fondi multi-asset non ha settore né paese per metà del suo peso — e allora la media si fa sulle due rimaste, dichiarando su quante lenti poggia. Sotto le due non si calcola niente: una media di una sola non è una media, è quel punteggio con un altro nome.

La pagina mostra anche quale delle tre è la più bassa, perché è l'informazione che la media cancella ed è quasi sempre quella che si vorrebbe sapere subito dopo.

11Fasce di lettura

Le fasce servono a far capire se un numero è tanto o poco, e nient'altro. Non sono uno standard e non sono una previsione: dipendono dal periodo e dai dati analizzati, e lo stesso portafoglio può cambiare fascia cambiando la finestra storica.

La soglia dello zero è l'unica non arbitraria delle quattro sullo Sharpe, perché cambia il segno del significato: sotto, il portafoglio ha reso meno del tasso privo di rischio e l'oscillazione sopportata non è stata ripagata. Sopra 2 il rapporto è talmente buono che quasi sempre dipende da una finestra storica fortunata più che da una proprietà stabile — ed è per questo che la fascia più alta porta con sé un avvertimento invece di un complimento.

12Parametri

Tutte le costanti che entrano nei calcoli, con il valore in vigore. Sono fissate nel codice e identiche per ogni analisi: due panieri diversi si possono confrontare perché sono stati misurati con la stessa asta.

13Limiti dichiarati

Quello che segue non è una lista di difetti da correggere un giorno: sono le condizioni entro cui i numeri di questo documento valgono. Chi li usa deve conoscerle.

13.1È tutto storia

Media e covarianza sono stime su prezzi passati. Il rendimento passato non prevede quello futuro, nessuna cifra mostrata è una previsione e nessuna percentuale è una promessa. In particolare, la media è di gran lunga l'input più fragile della teoria media–varianza: piccoli errori di stima si amplificano nei pesi. È il motivo per cui la pagina mostra anche il portafoglio a minima varianza, che dalla media non dipende affatto.

13.2Niente conversione di cambio

I rendimenti sono variazioni di prezzo nella valuta di quotazione di ciascun titolo, senza conversione. Un paniere misto è quindi misurato in un'unità composita. La conversione è stata implementata e ritirata: corretta in teoria, richiedeva le serie dei cambi, e ogni cambio mancante era un titolo escluso in più su una fonte che già fatica a servire i prezzi — in cambio spostava la frontiera senza che si potesse dire se il movimento fosse il cambio o un dato mancante.

13.3Un titolo delistato accorcia ancora la finestra

Le storie che cominciano in momenti diversi non sono più un problema: ogni titolo porta la sua, e le medie dei più giovani si raddrizzano con l'indice del loro mercato (§3.4). Il lato destro no: un titolo che ha smesso di quotare prima degli altri accorcia ancora la finestra per tutti. Un ritardo di pubblicazione entro i cinque giorni di riporto viene perdonato — altrimenti, alle sei di sera, un titolo di Milano toglierebbe l'ultima seduta a uno di New York — ma una fine vera resta una fine, e la si paga in comune.

13.4La classificazione non è perfetta

Le tre lenti del §9.4 poggiano sull'anagrafica del catalogo e, per i fondi, su ciò che il nome dichiara. Un fondo il cui nome non dice cosa contiene resta non classificato, e la pagina lo scrive con nome e peso invece di forzarlo in una casella. La distinzione fra «dato mancante» e «domanda che non si pone» è esplicita: l'oro non ha un settore, e dire «non classificato» sarebbe dire una cosa falsa.

13.5Il VaR è in campione

È un percentile dei rendimenti osservati sulla stessa finestra su cui è stato ottimizzato il portafoglio. Non è una stima fuori campione e non dice nulla su code che nella finestra non si sono manifestate.

13.6Nessuna leva, nessuno scoperto, nessun costo

L'insieme ammissibile (17) esclude vendite allo scoperto e leva. Non entrano nel calcolo commissioni, spread denaro–lettera, imposte né costi di ribilanciamento: i pesi sono un punto di arrivo teorico, non un ordine da eseguire.

14Riferimenti

• Markowitz, H. (1952). «Portfolio Selection». The Journal of Finance, 7(1), 77–91.
• Sharpe, W. F. (1994). «The Sharpe Ratio». The Journal of Portfolio Management, 21(1), 49–58.
• Ledoit, O. e Wolf, M. (2004). «A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices». Journal of Multivariate Analysis, 88(2), 365–411.
• Stambaugh, R. F. (1997). «Analyzing investments whose histories differ in length». Journal of Financial Economics, 45(3), 285–331.
• Cornuéjols, G. e Tütüncü, R. (2007). Optimization Methods in Finance. Cambridge University Press — riformulazione convessa del portafoglio tangente.
• Meucci, A. (2009). «Managing Diversification». Risk, 22(5), 74–79 — numero effettivo di scommesse indipendenti.
• Hirschman, A. O. (1964). «The Paternity of an Index». The American Economic Review, 54(5), 761 — l'indice ripreso in eq. (28) e (29).
• Kraft, D. (1988). A software package for sequential quadratic programming. DFVLR-FB 88-28 — l'algoritmo SLSQP usato per (18), (19) e (23).

15Revisioni del metodo

Sono elencate qui le modifiche che cambiano un risultato o il modo di ottenerlo. Le modifiche di sola presentazione non compaiono: non spostano nessun numero.

15.1Versione 1.1 — la valuta la dichiara la fonte

• Valuta di quotazione. Prima si deduceva dal suffisso del simbolo, poi dal catalogo interno. Entrambe sono ipotesi, e a Londra sono ipotesi sbagliate: sullo stesso listino convivono linee in dollari, in sterline e in penny. Ora arriva dai metadati della stessa risposta che porta i prezzi, e viene conservata. Una valuta sbagliata significava applicare a un titolo il tasso di cambio di un'altra per l'intera serie storica, quindi rendimento e volatilità inventati.
• Prezzi in centesimi. Londra quota parecchie righe in penny e la fonte lo dichiara («GBp»). Il fattore cento si semplifica nei rendimenti, ma non in un controvalore: le quantità dedotte da un importo uscivano cento volte più piccole del vero. I prezzi in sottomultipli vengono ora riportati all'unità all'ingresso.
• Rischio di cambio. È incluso in modo predefinito: i prezzi vengono convertiti nella valuta di riferimento prima di qualunque stima, quindi il cambio entra nella media, nella volatilità e soprattutto nelle correlazioni. Un interruttore permette di escluderlo e guardare i titoli nella loro valuta di quotazione.
• Vincoli di quota minima per categoria. Oltre al minimo su un singolo titolo si può imporre una quota minima per tipo di strumento, area geografica o settore. Entra come disuguaglianza lineare sui pesi, con verifica di ammissibilità prima del calcolo e riparo esatto dopo, come già avviene per i minimi sui titoli.
• BlissPoint Score. Non è più la media dei tre indici strutturali. È il voto di performance — funzione monotona dello Sharpe, quindi confrontabile fra analisi diverse — corretto entro un quinto dalla struttura del portafoglio. Vedi §10.
• Composizione, tre assi invece di uno. La varietà del paniere non è più un indice solo: si legge separatamente per tipo di strumento, area geografica e settore. Le materie prime e le criptovalute contano come esposizione globale, non come area mancante.
• Stabilità. A parità di prezzi e di tasso privo di rischio, due analisi dello stesso paniere danno numeri identici. Le quantità che dipendono dal carico della macchina — la densità della nuvola di §8 e il numero di punti della curva di §7 — riguardano il solo disegno e non entrano in nessuna cifra riportata.