Note technique

Des cours aux pondérations

Comment BlissPoint estime les moments, résout les deux portefeuilles, trace la frontière et attribue les trois scores structurels. Chaque chiffre affiché dans les résultats renvoie à une formule de ce document.

Résumé

BlissPoint résout un problème moyenne–variance à la Markowitz sur un panier choisi par l'analyste, sous contraintes de position longue uniquement et de capital entièrement investi. L'estimation des moments conserve les variances empiriques, adoucit les corrélations d'une part qui ne dépend que de la longueur de l'historique et estime paire par paire — chaque titre avec tout son historique — et redresse les moyennes des titres cotés depuis peu avec l'indice de leur marché ; ainsi chaque chiffre ne dépend que des titres qu'il concerne ; le portefeuille tangent s'obtient par reformulation convexe, donc avec unicité du maximum global et tangence exacte à la matrice même dont la courbe est issue.

À côté des deux portefeuilles, la page de résultats montre trois indices structurels — indépendance, concentration, variété — qui ne contiennent ni rendement ni risque : ils mesurent à quel point le portefeuille repose sur une seule chose. Leur moyenne est le BlissPoint Score.

Tout ce qui suit est un calcul statistique sur des cours passés. Ce n'est pas une prévision, ce n'est pas une recommandation et cela ne tient pas compte de la situation du lecteur.

1Notation et conventions

Le panier compte n titres observés sur T séances. Tous les vecteurs sont des colonnes ; le prime indique la transposée et 1 est le vecteur de uns.

Symbole	Signification
P_i,t	cours de clôture du titre i à la séance t, ajusté des dividendes et des divisions
r_i,t	rendement simple journalier
μ_d, Σ_d	moyenne et covariance journalières estimées
μ, Σ	les mêmes moments annualisés
w	vecteur des pondérations du portefeuille
m	vecteur des pondérations minimales imposées par l'analyste (nul si aucune)
r_f	taux sans risque annuel de l'analyse
q	parts d'une répartition catégorielle, non négatives et de somme un
N_eff	nombre effectif d'éléments d'une distribution de parts

Tableau 1 — Symboles utilisés dans tout le document.

L'année boursière vaut 252 séances. L'annualisation est arithmétique — moyenne fois 252, écart-type fois la racine de 252 — c'est la convention de la théorie moyenne–variance, où moyenne et variance sont les moments optimisés. Ce n'est pas un taux de croissance composé et cela ne doit pas l'être.

2Données et construction de l'échantillon

2.1Source et séries brutes

Les cours sont des clôtures journalières de Yahoo Finance, demandées avec ajustement des dividendes et des divisions, à partir du 1er janvier 2000. Aucune autre donnée n'entre dans les estimations : le référentiel du catalogue — classe d'actif, pays, secteur — ne sert qu'aux indices structurels de la section 9, jamais à l'optimisation.

L'historique s'arrête à la fin d'hier : toute ligne datée d'aujourd'hui est écartée, quelle que soit la place et quelle que soit l'heure. Un cours intraday n'est pas une clôture, mais la raison d'une coupure unique est autre : une frontière qui se déplace pendant la journée — à chaque clôture de place, et à chaque expiration du cache des cours — fait sortir des pondérations différentes de deux analyses identiques demandées à une heure d'intervalle. La frontière est minuit à Greenwich, le seul instant après lequel une journée est achevée sur tous les marchés, y compris les cryptos et les devises, qui ne ferment jamais. Cela coûte une séance d'actualité et rend l'analyse reproductible : les mêmes titres, le même jour, donnent les mêmes chiffres. La période réellement utilisée est toujours déclarée.

2.2Nettoyage

Un cours nul ou négatif envoie le rendement à l'infini, et de là l'infini se propage à la moyenne et à la covariance jusqu'à rendre la matrice absurde sans que rien ne le signale. Les cours inférieurs ou égaux à zéro sont donc masqués avant tout calcul, et leur nombre est indiqué dans la fiche des données.

2.3Calendrier partagé

Des titres cotés sur des places différentes n'ont pas les mêmes dates : Milan ferme le 26 décembre, New York non. L'union des dates contient les fériés de chaque place ; l'intersection exacte, avec cinquante titres, se vide — si chacun rate 5% des séances, il reste 0,95⁵⁰ ≈ 7% du calendrier.

Le calendrier du panier se définit sur les PLACES, non sur les titres, et pour chaque place c'est la place elle-même qui le déclare. Soit ℬ l'ensemble des m places où le panier est coté et 𝒮_b l'ensemble des séances de la place b, tiré de son calendrier officiel : t est une séance du panier lorsqu'elle est une séance d'au moins une part q_c = 0,8 des places.

𝒟 = {t : # {b \in ℬ : t \in 𝒮_{b}} \geq ⌈ q_{c} m ⌉}

(1)

Les séances d'une place sont un fait de la place, et c'est à elle qu'il faut les demander : le 4 juillet New York est fermée et Milan non, le lundi de Pâques c'est l'inverse, et rien de tout cela ne dépend des titres que l'on a choisi d'analyser. Elles viennent d'exchange_calendars, la bibliothèque de référence pour les calendriers boursiers. Les déduire des titres présents — « la place était ouverte si 80% de ses titres ont coté » — voulait dire qu'un titre ajouté au panier, et peut-être écarté par l'optimiseur, pouvait retirer des séances à tous les autres : huit séances non cotées par le nouveau venu faisaient tomber les observations de TOUS de 6 697 à 6 689, et les moyennes bougeaient. Pour une place dont le calendrier est inconnu on revient à compter les titres, et c'est le seul cas restant où le panier touche le calendrier.

Les cases encore vides dans le calendrier sont remplies en reportant la dernière cotation connue, pour 5 jours au plus. Ce qui reste découvert ensuite est une vraie suspension : cette date sort, car le panier n'est pas observable tout entier.

Les rendements sont simples et calculés sur le calendrier obtenu :

r_{i, t} = \frac{P_{i, t}}{P_{i, t - 1}} - 1

(2)

Un rendement qui enjambe un trou de plus de 15 jours calendaires est écarté : ce serait la variation de deux semaines alignée avec celles d'un jour.

2.4Titres écartés, et pourquoi

Deux règles retirent des titres de l'échantillon, et dans les deux cas la page indique lequel et pourquoi.

Un titre qui, dans le calendrier, a des cours propres sur moins de 50% des dates n'apporte pas des cours mais des reports : sa volatilité estimée ressort plus basse que la réalité et le portefeuille à variance minimale s'y accumule.
Un titre dont le retrait doublerait l'historique utilisable coûte à lui seul plus que tous les autres réunis. Le seuil du doublement n'est pas un réglage fin : il sépare « ce titre coûte un morceau d'historique » de « ce titre coûte l'historique ».

En dessous de 30 observations communes, on n'estime rien : il n'y a même pas de quoi commencer.

3Estimation des moments

3.1Pourquoi pas la covariance empirique

La covariance empirique est très mal conditionnée quand les observations ne sont pas beaucoup plus nombreuses que les actifs : les plus petites valeurs propres sont systématiquement sous-estimées, l'optimiseur les prend pour des directions presque sans risque et y concentre le portefeuille. D'où l'instabilité notoire de la frontière empirique et des pondérations qui sautent d'un jour à l'autre.

3.2Corrélations adoucies

Soit X la matrice T × n des rendements et X_c la même, centrée par colonnes. De la covariance empirique non biaisée on extrait les écarts-types et la matrice de corrélation :

S = \frac{1}{T - 1} X_{c}^{'} X_{c}, D = diag (\sqrt{S_{11}}, \dots, \sqrt{S_{n n}}), R = D^{- 1} S D^{- 1}

(3)

Les corrélations sont tirées vers zéro d'une part δ qui ne dépend que de la quantité d'historique — pas du nombre de titres :

δ = \frac{T_{0}}{T_{0} + T}, T_{0} = 60 sedute

(4)

et la covariance utilisée en aval se recompose avec les écarts-types empiriques, qui restent ceux de chaque titre :

\hat{Σ} = D [(1 - δ) R + δ I] D

(5)

Pourquoi pas le shrinkage de Ledoit–Wolf

Ledoit–Wolf (2004) mélange la covariance empirique avec l'identité mise à l'échelle de la variance MOYENNE du panier, avec une intensité estimée sur toute la matrice. C'est l'estimateur optimal au sens quadratique, et il a longtemps été celui utilisé ici — mais ces deux quantités changent quand le panier change : la variance estimée d'un titre dépendait de qui d'autre figurait dans l'analyse, et ajouter un titre que l'optimiseur écarte ensuite déplaçait les chiffres de tous les autres. Sur un cas réel, l'intensité passait de 0,118 à 0,053 et une volatilité annuelle de 30,47% à 30,65%, la covariance empirique étant identique au dernier chiffre. La règle ci-dessus fait le même travail — tenir l'optimiseur loin des directions presque sans risque, puisque les valeurs propres de (1−δ)R + δI sont toutes au-dessus de δ et que le conditionnement reste borné par construction — et de plus chaque terme de la matrice ne dépend que des titres qu'il concerne. La semi-définie positivité ne demande aucune correction : c'est une combinaison convexe de deux matrices qui le sont. La valeur de δ utilisée dans chaque analyse figure dans la fiche des données.

λ_{\min} ((1 - δ) R + δ I) \geq δ > 0, {\hat{Σ}}_{i j} dipende solo da i, j

(6)

3.3Positivité définie

Les arrondis peuvent laisser des valeurs propres légèrement négatives, et alors w′Σw peut ressortir négatif avec une racine carrée d'un nombre négatif en aval. La matrice est symétrisée et les valeurs propres tronquées par le bas à λ_max · 10⁻¹². Le conditionnement obtenu est indiqué dans le diagnostic.

3.4Historiques de longueurs différentes

L'échantillon commun est le choix le plus prudent et le plus dispendieux : la fenêtre démarre à la première cotation du titre le plus jeune, donc un ETF né en 2021 jette quinze ans d'historique de tous les autres.

Chaque case est donc estimée sur les titres qu'elle concerne : la moyenne d'un titre sur SA série, tout entière, et la corrélation d'une paire sur les jours où les deux étaient là. Aucun titre jeune ne raccourcit plus rien à personne et — c'est la propriété qui compte — ajouter un titre à l'analyse ne peut changer aucun des chiffres des autres, puisque aucun de ces chiffres ne l'a jamais regardé.

Les deux objections classiques à ce choix sont connues et doivent être affrontées. La première : des chiffres estimés sur des échantillons différents peuvent composer une matrice non semi-définie positive, et l'optimiseur trouverait aussitôt les directions à variance négative, car ce sont exactement celles qu'il cherche. La défense consiste à adoucir les corrélations vers zéro (§3.2), ce qui relève les valeurs propres, et à ajouter — si la plus petite reste négative — la correction MINIMALE qui la ramène au-dessus de zéro. Avec des recouvrements qui diffèrent de quelques jours sur des milliers, cela ne sert presque jamais.

La seconde objection est que les moyennes deviennent incomparables entre elles : un titre coté depuis deux ans porte la moyenne de ses deux ans, et si ces deux ans ont été un marché haussier sa moyenne est élevée pour une raison qui n'est pas la sienne — et l'optimiseur, qui avale les moyennes telles quelles, s'y précipite. C'est le dommage que la méthode de Stambaugh (1997) répare, en régressant le titre jeune sur les titres à historique plus long DU PANIER, et c'est précisément ce « du panier » qui est inacceptable ici : ajouter un titre à historique complet à un panier qui en contenait un coté plus tard déplaçait la moyenne de ce dernier de 0,013 point par an, et avec elle le dernier chiffre des nombres affichés.

La référence est donc une que le panier ne peut toucher : l'INDICE DU MARCHÉ sur lequel le titre est coté — le S&P 500 pour New York, l'Euro Stoxx 50 pour la zone euro, le Nikkei pour Tokyo. Chaque titre se décompose en r_i = α_i + β_i B_i + e_i : un morceau de marché et une part qui lui est propre. Le premier peut être prolongé, car l'indice existe sur TOUTE la période de l'analyse, y compris les années où le titre n'était pas encore coté ; le second non, et reste mesuré là où le titre était présent. D'où moyenne, variance et covariance :

moyenne_i = α_i + β_i · moyenne(B_i sur toute la période) · var_i = β_i² var(B_i sur le tout) + var(e_i) · cov_ij = β_i β_j cov(B_i, B_j sur le tout) + cov(e_i, e_j sur les jours des deux)

Aucun prix n'est inventé : on dit seulement que de ce titre on sait combien il bouge avec son marché et combien il a oscillé pour son propre compte, et que le marché est connu depuis vingt-cinq ans. Un titre présent sur toute la période n'est pas touché — « l'indice sur le tout » et « l'indice sur sa période » sont la même chose, et la décomposition des moindres carrés fait de β²var(B) + var(e) exactement sa variance empirique : le prolongement vaut zéro. Aucun seuil entre « historique court » et « long » n'est donc nécessaire. Mesuré : un titre coté depuis 2023, parmi des titres à vingt-cinq ans d'historique, passe de 16,9% à 23,0% de volatilité annuelle — celle de ses pairs — car il hérite des crises de son marché qu'il n'a pas vécues, et son rendement attendu tombe de 28,5% à 20,7%.

Chaque pièce du calcul — le bêta, les moments de l'indice, les dates de recouvrement — ne dépend que de ce titre et de son indice ; la covariance des résidus, que de la paire. Ajouter un titre à l'analyse ne change aucune de ces quantités. En dessous de 60 observations communes avec l'indice le bêta est du bruit et rien n'est prolongé ; le bêta est tronqué à ±3 ; si l'indice n'arrive pas de la source, ce marché reste sans prolongement et l'analyse continue. La page des résultats nomme les titres prolongés.

La méthode de Stambaugh (1997) reste implémentée et s'active par une variable d'environnement, pour qui préfère l'estimation plus fine à la stabilité. Les titres classés par longueur d'historique, sur le bloc long L on estime μ_L et Σ_LL avec toutes ses observations ; sur la période de recouvrement, le bloc court S est régressé sur le long,

r_{S} = α + B (r_{L} - {\overline{μ}}_{L}^{ov}) + ε

(7)

et l'on reconstruit les moments du bloc court à partir des moments complets du bloc long :

μ_{S} = α + B (μ_{L} - {\overline{μ}}_{L}^{ov})

(8)

Σ_{S L} = B Σ_{L L}, Σ_{S S} = B Σ_{L L} B^{'} + Σ_{ε}

(9)

Le centrage sur la moyenne de la période de recouvrement dans (7) est ce qui fait de (8) une vraie correction : la moyenne du titre jeune est ramenée à la période longue via son bêta, c'est-à-dire corrigée du fait que sa fenêtre de cotation ait été un marché haussier ou baissier.

La semi-définie positivité du résultat est algébrique, non numérique. La matrice conjointe se factorise comme congruence d'une diagonale par blocs :

[\begin{matrix} Σ_{L L} & Σ_{L L} B^{'} \\ B Σ_{L L} & B Σ_{L L} B^{'} + Σ_{ε} \end{matrix}] = [\begin{matrix} I & 0 \\ B & I \end{matrix}] [\begin{matrix} Σ_{L L} & 0 \\ 0 & Σ_{ε} \end{matrix}] [\begin{matrix} I & B^{'} \\ 0 & I \end{matrix}]

(10)

Tant que Σ_LL et Σ_ε sont semi-définies positives, le résultat l'est aussi.

3.5Régularisation de la régression (méthode optionnelle)

Avec cent titres longs et deux cents jours de recouvrement, les moindres carrés ordinaires sont de rang insuffisant : ils s'ajusteraient au bruit et les bêtas ne vaudraient rien. On régresse donc sur les k premières composantes principales de Σ_LL, orthogonales par construction, avec

k = \min (| L |, 15, \max (1, ⌊ \frac{T_{ov}}{10} ⌋))

(11)

soit au moins dix observations de recouvrement par composante. Les coefficients reviennent ensuite dans l'espace des titres via B = β′V′, où V rassemble les composantes en colonnes. Avec un recouvrement abondant et peu de composantes demandées, le résultat coïncide avec les moindres carrés ordinaires.

En dessous de 20 jours de recouvrement on ne régresse pas du tout : un bêta faux est pire qu'un titre en moins, car il se propage à toute sa ligne de covariance. Ces titres restent dehors et la page le dit.

3.6Annualisation

μ = 252 μ_{d}, Σ = 252 Σ_{d}

(12)

4Taux sans risque

Le Sharpe est le rendement excédentaire divisé par la volatilité : le taux n'est donc pas un détail, c'est la moitié du numérateur. Il doit en outre être celui de la devise dans laquelle le rendement est mesuré — soustraire le SOFR d'un portefeuille coté en euros n'est pas une approximation, c'est une erreur d'unité.

4.1Sources et convention

On utilise les taux au jour le jour officiels : €STR publié par la Banque centrale européenne pour l'euro, SOFR publié par la Réserve fédérale de New York pour le dollar. Tous deux sont cotés en convention ACT/360 et ramenés à l'année civile avant d'entrer dans le Sharpe :

r_{f} = r^{ACT / 360} \cdot \frac{365}{360}

(13)

Sans cette étape, le taux resterait sous-estimé de 1,4%. La valeur utilisée, la source et le jour de référence sont écrits à côté du Sharpe de chaque portefeuille : qui compare deux nombres doit pouvoir voir s'ils ont été mesurés avec la même toise.

4.2Paniers multidevises

Lorsque la devise de référence est choisie par l'analyste, on utilise le taux de cette devise et rien d'autre : le taux sans risque est ce que rapporte de garder son argent immobile, et cet argent est celui de l'analyste, dans sa devise.

Pour les appels internes, où personne n'a choisi, le panier est déjà mesuré dans une unité composite — les rendements ne sont pas convertis au change — et l'équivalent sans risque de cette unité est la moyenne des taux de ces mêmes devises. Les bonnes pondérations seraient celles du portefeuille, connues seulement après l'optimisation, laquelle a besoin du taux : on utilise donc les parts de l'univers, c'est-à-dire combien de titres par devise, et la part non couverte par une source primaire est repondérée sur la part couverte.

r_{f} = \frac{\sum_{v \in 𝒞} π_{v} r_{v}}{\sum_{v \in 𝒞} π_{v}}

(14)

où π_v est la part de titres cotés dans la devise v et 𝒞 l'ensemble des devises dotées d'une source primaire. Si aucune source ne répond, le taux vaut zéro et la page le déclare : le Sharpe redevient le rapport entre rendement et oscillation.

5Mesures de portefeuille

5.1Rendement, risque, Sharpe

μ_{p} = μ^{'} w, σ_{p} = \sqrt{w^{'} Σ w}, SR = \frac{μ_{p} - r_{f}}{σ_{p}}

(15)

5.2Valeur à risque

La VaR est historique, non paramétrique : on construit la série des rendements journaliers du portefeuille et l'on en prend le percentile. Pour le niveau de confiance c,

{VaR}_{c} = Q_{1 - c} ({r_{t}^{'} w : t \in 𝒟})

(16)

calculée aux niveaux c ∈ {0,90 ; 0,95 ; 0,99}. Les trois niveaux ne se répètent pas : le 90 dit à quoi ressemble une mauvaise journée ordinaire, le 99 une vraiment mauvaise, et l'écart entre les deux dit le poids de la queue — si le portefeuille perd lentement ou par à-coups.

Il se mesure sur les titres que le portefeuille DÉTIENT

Un percentile exige des journées où les titres étaient vraiment tous là ensemble — mais « tous » désigne ceux que le portefeuille détient, pas ceux que l'analyse a regardés. Mesuré sur la fenêtre commune à tous les titres analysés, il suffisait d'en ajouter un plus jeune, que l'optimiseur écartait ensuite, pour que la fenêtre raccourcisse et que le percentile change pour un portefeuille qui ne le contient pas. Deux portefeuilles différents peuvent donc avoir des fenêtres différentes — celui à variance minimale détient le titre jeune, l'optimal non — et c'est juste : le VaR est une propriété du portefeuille, mesurée quand ce portefeuille était observable. Si les jours ne suffisent pas, le VaR n'est pas affiché plutôt qu'affiché de travers.

6Les deux portefeuilles

6.1Ensemble admissible

Position longue uniquement et capital entièrement investi. Les pondérations minimales saisies par l'analyste entrent comme borne inférieure de chaque variable :

𝒲 = {w \in ℝ^{n} : 1^{'} w = 1, w \geq m}

(17)

Pas de vente à découvert, pas de levier, pas de plafond par titre. L'ensemble est un polytope convexe compact, non vide tant que 1′m ≤ 1.

6.2Variance minimale

w_{mv} = \underset{w \in 𝒲}{\arg \min} w^{'} Σ w

(18)

On minimise la variance et non la volatilité : la racine carrée ne déplace pas le minimum mais dégrade le conditionnement du gradient près de zéro. Le problème est un QP convexe, résolu par SLSQP depuis deux points de départ — pondérations égales et inverse de la variance — en gardant le meilleur.

6.3Portefeuille tangent

Maximiser directement le ratio de Sharpe est un problème non convexe : un solveur parti d'un seul point peut s'arrêter sur un maximum local, et le point « optimal » finit hors de la frontière. On utilise donc la reformulation de Cornuéjols et Tütüncü. Avec l'excès e = μ − r_f1, si max_i e_i > 0 on résout

\min_{y \geq 0} y^{'} Σ y s.v. e^{'} y = 1

(19)

puis l'on normalise :

w_{ms} = \frac{y^{⋆}}{1^{'} y^{⋆}}

(20)

Le problème (19) est convexe, donc à minimum global unique, et (20) restitue exactement le portefeuille tangent : le ratio de Sharpe est invariant d'échelle, ce qui rend la normalisation finale licite.

Quand aucun titre ne bat le taux sans risque, la tangence n'existe pas — aucune droite issue de r_f ne touche la frontière par le haut — et la page affiche le portefeuille à variance minimale en déclarant le cas.

6.4Les minimums dans la variable auxiliaire

Dans (19) on n'optimise pas sur les pondérations mais sur y, et une borne inférieure sur w n'est pas une borne inférieure sur y : elle dépend de 1′y, elle-même variable. La condition se réécrit toutefois en y, et devient linéaire — le problème reste donc un QP convexe :

w_{i} \geq m_{i} ⟺ \frac{y_{i}}{1^{'} y} \geq m_{i} ⟺ y_{i} - m_{i} 1^{'} y \geq 0

(21)

6.5Contraintes exactes par construction

Un solveur numérique respecte les bornes à sa tolérance près, et « à la tolérance près » n'est pas « toujours » : une pondération peut sortir à 9,9998% là où le minimum demandé était 10%. Sur une contrainte écrite par l'analyste, ce n'est pas acceptable. Tout portefeuille admissible s'écrit d'une seule manière,

w = m + (1 - 1^{'} m) z, z \geq 0, 1^{'} z = 1

(22)

et la correspondance est bijective. La solution du solveur est donc ramenée à cette paramétrisation : on prend la part excédant les minimums, on la ramène à somme un et l'on reconstruit w. Le résultat respecte les minimums au chiffre près, non à la tolérance près.

6.6Sélection parmi les candidats

Outre la solution du QP, deux maximisations directes depuis des points de départ différents sont calculées comme filet de sécurité. Parmi les candidats l'emporte le ratio de Sharpe le plus élevé arrondi à la sixième décimale et, à égalité, le rendement le plus élevé : à prix identique en oscillation, davantage de résultat. Sans la tolérance, deux Sharpe ne seraient jamais égaux — ils diffèrent à la quinzième décimale — et le second critère n'interviendrait jamais.

7Frontière efficiente

7.1Le problème paramétrique

Pour chaque rendement cible on résout un QP convexe :

\min_{w} w^{'} Σ w s.v. μ^{'} w = R_{k}, 1^{'} w = 1, w \geq m

(23)

avec R_k équirépartis entre le rendement du portefeuille à variance minimale et celui du sommet extrême. Sans contraintes, le sommet est le meilleur titre isolé ; avec les minimums on ne peut plus tout mettre sur un seul, et il devient « tout ce qui reste, sur le meilleur ».

La branche efficiente utilise 70 points vers le haut ; la branche des portefeuilles dominés en utilise 40 vers le bas, en remplaçant arg max par arg min dans le choix du sommet. Les deux branches ensemble forment le contour de la région admissible, la forme en balle des manuels.

7.2Ordre par raffinement

Les points ne sont pas résolus de gauche à droite mais par bissection successive : d'abord les deux extrémités, puis le point médian, puis les médians des deux moitiés, et ainsi de suite. Deux conséquences utiles. La première : chaque nouveau point se trouve entre deux déjà résolus, il part donc de l'interpolation de leurs solutions — le long de la frontière les pondérations se déplacent presque linéairement, et le solveur arrive quasi convergé. La seconde : si le temps manque, ce qui se perd est la densité de la courbe, non son étendue.

Le contrôle du temps se fait avant de commencer un point, pas après : on estime le coût comme la moyenne des points déjà résolus et on ne commence pas le suivant s'il n'y a pas la place pour deux. Les 17 premiers points sont résolus quoi qu'il arrive — en dessous de ce seuil il n'y a pas de courbe, mais une ligne brisée.

8Nuage de portefeuilles aléatoires

Le fond du graphique est un échantillon de portefeuilles admissibles tirés au hasard. Un Dirichlet uniforme semblerait le choix évident, mais avec n actifs les pondérations se concentrent autour de 1/n : le nuage devient une tache centrale qui n'approche jamais la frontière, la faisant paraître détachée des données.

On tire donc d'un mélange de Dirichlet symétriques à concentration variable :

w_{s} \sim Dir (α_{s} 1), α_{s} \in {0,08, 0,3, 1, 4}

(24)

avec probabilités (0,25 ; 0,30 ; 0,25 ; 0,20). Les petits α produisent des portefeuilles concentrés, près des sommets du simplexe ; les grands α des portefeuilles répartis. Ensemble ils couvrent vraiment la région admissible.

Les tirages sont de 40 000 jusqu'à trente titres et de 20 000 au-delà, avec graine fixe — la même analyse rend toujours la même image — et sont calculés par blocs de 4 000 scénarios, de sorte que la mémoire ne dépend pas du nombre de tirages.

Dans le dessin chaque scénario est un point, coloré par son propre ratio de Sharpe sur l'échelle viridis. Ils n'entrent pas tous dans l'image : on en dessine un tous les k, avec k fixe et non aléatoire, jusqu'à douze mille points. L'échantillon est donc régulier — même forme et même densité relative que l'ensemble complet — et la mémoire nécessaire au dessin ne croît pas avec le nombre de tirages.

9Les trois indices structurels

À côté des deux portefeuilles, la page affiche trois nombres de 0 à 100 qui ne contiennent ni rendement ni risque. Tous trois répondent à la même question posée à des niveaux différents — à quel point le portefeuille repose sur une seule chose — et s'appellent indépendance, concentration et variété.

9.1La courbe commune

Deux des trois indices partent d'un décompte effectif et le transforment en note avec la même fonction, de sorte que « 54 » signifie la même chose sur les deux fiches :

v (N) = 100 (1 - e^{- (N - 1) / 3})

(25)

arrondie à l'entier et tronquée à [0, 100]. La courbe sature : 1 décompte effectif vaut 0, 2 valent 28, 3 valent 49, 5 valent 74, 8 valent 90. Passer de huit à dix change peu, et c'est juste — la vraie différence est entre un et trois.

9.2Indépendance

Combien de titres distincts on détient en pratique. À partir de la matrice de corrélation tirée de la covariance déjà estimée,

C = D^{- 1 / 2} Σ_{d} D^{- 1 / 2}, D = diag (Σ_{d})

(26)

on prend les valeurs propres λ₁, …, λ_n et l'on compte le nombre effectif de directions indépendantes comme rapport de participation du spectre :

N_{ind} = \frac{{(\sum_{j = 1}^{n} λ_{j})}^{2}}{\sum_{j = 1}^{n} λ_{j}^{2}} = \frac{n^{2}}{\sum_{j = 1}^{n} λ_{j}^{2}}

(27)

L'égalité de droite tient parce que la trace d'une matrice de corrélation vaut n. La valeur est tronquée à [1, n] et la note est v(N_ind). Cinq titres tous corrélés à 0,8 donnent 1,4 : cinq noms, un seul pari.

La fiche montre aussi la corrélation moyenne de toutes les paires et la paire la plus semblable, qui sont le même C lu autrement — aucune mesure supplémentaire.

9.3Concentration

À quel point le portefeuille dépend de quelques titres. Sur l'allocation optimale w on calcule l'inverse de l'indice de Herfindahl :

N_{eff} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}^{2}}

(28)

et c'est le nombre de titres qui, tous à poids égal, donneraient la même concentration : dix à 10% donnent dix, un à 90% avec neuf résiduels donne environ un. La note est encore v(N_eff).

Indépendance et concentration peuvent donner des réponses opposées, et les deux sont nécessaires : dix titres identiques sont peu indépendants mais peu concentrés ; deux titres décorrélés sont indépendants mais très concentrés. Le grand nombre de la fiche va dans le sens de la note — plus haut, poids mieux réparti — tandis que le mot qui l'accompagne va en sens inverse, car un poids mal réparti est une concentration élevée.

9.4Variété

Sur combien de catégories différentes repose le portefeuille optimal. On regarde à travers trois loupes — type d'investissement, zone géographique, secteur — tirées du référentiel du catalogue et, pour les fonds, du nom de l'instrument.

Pour chaque loupe, en notant q₁, …, q_K les parts normalisées sur la portion classée, le nombre effectif de catégories est encore un inverse de Herfindahl :

N_{eff}^{ℓ} = \frac{1}{\sum_{j = 1}^{K} q_{j}^{2}}

(29)

Les deux échelles qui en découlent diffèrent toutefois, et à dessein. Le type a un dénominateur connu — les familles sont trois : actions, obligations, matières premières — donc la note peut dire « une sur trois » au lieu de « loin du maximum théorique » :

v^{tipo} = \frac{100}{3} N_{eff}^{tipo}

(30)

La zone et le secteur n'ont pas de total fixe — les zones du monde sont cinq, les secteurs onze — et utilisent une courbe saturante calée sur le nombre de catégories réellement existantes, posée sur un plancher non nul :

v^{ℓ} = 20 + 80 (1 - e^{- (N_{eff}^{ℓ} - 1) / 1,05})

(31)

Une loupe entre dans la note seulement si elle couvre au moins 50% du portefeuille : en dessous elle en sait trop peu, et mal la compter est pire que ne pas la compter. Les pourcentages affichés se rapportent en revanche toujours à la seule part à laquelle la question s'applique — « de quel secteur es-tu ? » à un lingot d'or n'est pas une question sans réponse, c'est une question qui ne se pose pas.

9.5Poids des loupes et portefeuilles d'une seule classe

Dans le cas ordinaire la classe d'actif porte les trois quarts de la note et la géographie un quart : c'est la classe d'actif qui décide du type de risque dont dépend le portefeuille. Le secteur est affiché mais ne pèse pas — c'est la loupe la plus bruyante, et elle répète ce que la concentration dit déjà mieux.

Un panier tout en actions n'a toutefois par construction qu'une seule classe d'actif, et avec les poids ordinaires la loupe principale vaudrait 33 en emportant les trois quarts du jugement. Mais cette variété existe — pas au niveau de la classe d'actif, un étage plus bas, dans les secteurs et les zones. En posant

ρ = clip (\frac{1,3 - N_{eff}^{tipo}}{0,3}, 0, 1)

(32)

comme degré de « classe unique », les poids glissent continûment entre les deux réglages :

p_{ℓ} = (1 - ρ) {\overline{p}}_{ℓ}^{} + ρ {\tilde{p}}_{ℓ}^{}

(33)

Loupe	Ordinaire	Classe unique
Type d'investissement	0,75	0,20
Zone géographique	0,25	0,40
Secteur	0,00	0,40

Tableau 2 — Les deux réglages de pondération. Aucun palier entre eux : la transition est (32), continue entre une classe effective et 1,3.

La note brute est la moyenne pondérée des loupes qui pèsent réellement, et deux correctifs agissent dessus.

Le correctif actions. Le décompte des catégories est aveugle au sens : 80% actions et 20% obligations a la même variété que son contraire, mais le second est un portefeuille sans moteur. En notant a la part actions de la portion classée,

κ = {\begin{cases} 1 & se a \geq 0,5 \\ 0,75 + 0,5 a & altrimenti \end{cases}

(34)

La pénalité de classe unique. Déplacer le poids n'est pas absoudre : un portefeuille tout en actions, aussi bien réparti soit-il entre secteurs, dépend d'une seule chose — quand la bourse baisse, tout baisse ensemble.

π = 1 - 0,08 ρ

(35)

et la note finale est

v^{var} = clip (\frac{\sum_{ℓ} p_{ℓ} v^{ℓ}}{\sum_{ℓ} p_{ℓ}} \cdot κ \cdot π, 0, 100)

(36)

Le plafond pour qui n'a qu'une classe reste 80% de celui de qui en a vraiment plus d'une, et deux choses le disent désormais au lieu d'un seul multiplicateur : le type cloué à 33 dans la moyenne pondérée, et la (35) pour le reste. En effet 0,20 · 33 + 0,80 · 100 = 86,6 et 86,6 · 0,92 = 80.

Quand aucune loupe ne dépasse le seuil de couverture, la variété n'est pas jugée : la fiche reste sans note plutôt que d'en montrer une inventée.

10BlissPoint Score

La moyenne arithmétique des indices disponibles, arrondie :

BPS = \frac{1}{| 𝒫 |} \sum_{ℓ \in 𝒫} v^{ℓ}, | 𝒫 | \geq 2

(37)

Les trois loupes pèsent autant : rien ne justifie qu'une compte plus que les autres, et une pondération arbitraire serait plus difficile à expliquer qu'à écrire. La variété peut manquer — un portefeuille de fonds multi-actifs n'a ni secteur ni pays pour la moitié de son poids — et alors la moyenne se fait sur les deux restantes, en déclarant sur combien de loupes elle repose. En dessous de deux on ne calcule rien : une moyenne d'une seule n'est pas une moyenne, c'est cette note sous un autre nom.

La page montre aussi laquelle des trois est la plus basse, car c'est l'information que la moyenne efface et presque toujours celle que l'on veut connaître juste après.

11Tranches de lecture

Les tranches servent à faire comprendre si un nombre est beaucoup ou peu, et rien d'autre. Ce n'est pas une norme et ce n'est pas une prévision : elles dépendent de la période et des données analysées, et le même portefeuille peut changer de tranche si la fenêtre historique change.

Tranche	Note 0–100	Ratio de Sharpe
Très faible	< 20	< 0
Faible	20 – 39	0 – 0,49
Modérée	40 – 59	0,50 – 0,99
Bonne	60 – 79	1,00 – 1,99
Très élevée	≥ 80	≥ 2,00

Tableau 3 — Les mêmes cinq tranches pour les notes structurelles et pour le Sharpe, de sorte que la couleur de la page signifie partout la même chose.

Le seuil de zéro est le seul non arbitraire des quatre sur le Sharpe, car il change le signe du sens : en dessous, le portefeuille a rapporté moins que le taux sans risque et l'oscillation subie n'a pas été payée. Au-dessus de 2 le rapport est si bon qu'il dépend presque toujours d'une fenêtre historique chanceuse plutôt que d'une propriété stable — d'où l'avertissement, plutôt qu'un compliment, attaché à la tranche la plus haute.

12Paramètres

Toutes les constantes qui entrent dans les calculs, avec la valeur en vigueur. Elles sont fixées dans le code et identiques pour chaque analyse : deux paniers différents sont comparables parce qu'ils ont été mesurés avec la même toise.

Paramètre	Valeur	Où il agit
Séances par an	252	annualisation, éq. (12)
Quorum de calendrier	0,80	éq. (1)
Report maximal	5 jours	cases vides du calendrier
Trou maximal	15 jours	rendements écartés, §2.3
Couverture minimale du titre	50%	exclusion pour cotations rares
Historique de référence	60 séances	shrinkage des corrélations, éq. (4)
Observations minimales	30	seuil sous lequel on n'estime pas
Recouvrement avec l'indice	60 séances	en dessous, la moyenne n'est pas corrigée — §3.4
Bêta maximal	± 3	troncature du bêta envers l'indice, §3.4
Recouvrement minimal	20 jours	§3.5, méthode optionnelle
Composantes principales	≤ 15	éq. (11)
Observations par composante	10	éq. (11)
Blocs de départ	≤ 12	regroupement par date de début
Points de la frontière	70 / 40	branche efficiente / dominée
Points non négociables	17	§7.2
Scénarios Monte-Carlo	40 000 / 20 000	jusqu'à 30 titres / au-delà
Scénarios minimaux	4 000	réduction sous contrainte de temps
Graine aléatoire	42	reproductibilité du nuage
Courbe des notes	3,0	saturation dans l'éq. (25)
Courbe des catégories	1,05	saturation dans l'éq. (31)
Plancher d'échelle des loupes	20	éq. (31)
Macro-catégories de type	3	dénominateur dans l'éq. (30)
Couverture minimale de la loupe	50%	admission à la note, §9.4
Seuil de classe unique	1,3	éq. (32)
Pénalité de classe unique	0,92	éq. (35)
Part actions pleine	50%	éq. (34)
Correctif actions minimal	0,75	éq. (34)

Tableau 4 — Paramètres du moteur. Chaque ligne renvoie à la formule où elle intervient.

13Limites déclarées

Ce qui suit n'est pas une liste de défauts à corriger un jour : ce sont les conditions dans lesquelles les chiffres de ce document valent. Qui les utilise doit les connaître.

13.1C'est de l'histoire

Moyenne et covariance sont des estimations sur des cours passés. Le rendement passé ne prédit pas le futur, aucun chiffre affiché n'est une prévision et aucun pourcentage n'est une promesse. En particulier, la moyenne est de loin l'entrée la plus fragile de la théorie moyenne–variance : de petites erreurs d'estimation s'amplifient dans les pondérations. C'est pourquoi la page affiche aussi le portefeuille à variance minimale, qui ne dépend pas du tout de la moyenne.

13.2Pas de conversion de change

Les rendements sont des variations de cours dans la devise de cotation de chaque titre, sans conversion. Un panier mixte est donc mesuré dans une unité composite. La conversion a été implémentée puis retirée : correcte en théorie, elle exigeait les séries de change, et chaque change manquant était un titre exclu de plus sur une source qui peine déjà à servir les cours — en échange elle déplaçait la frontière sans qu'on puisse dire si le mouvement venait du change ou d'une donnée manquante.

13.3Un titre radié raccourcit encore la fenêtre

Les historiques qui commencent à des moments différents ne sont plus un problème : chaque titre apporte le sien, et les moyennes des plus jeunes sont redressées avec l'indice de leur marché (§3.4). Le côté droit, non : un titre qui a cessé de coter avant les autres raccourcit encore la fenêtre pour tous. Un retard de publication dans les cinq jours de report est pardonné — sinon, à six heures du soir, un titre de Milan retirerait la dernière séance à un titre de New York — mais une vraie fin reste une fin, et elle se paie en commun.

13.4La classification n'est pas parfaite

Les trois loupes du §9.4 reposent sur le référentiel du catalogue et, pour les fonds, sur ce que le nom déclare. Un fonds dont le nom ne dit pas ce qu'il contient reste non classé, et la page l'écrit avec nom et poids au lieu de le forcer dans une case. La distinction entre « donnée manquante » et « question qui ne se pose pas » est explicite : l'or n'a pas de secteur, et dire « non classé » serait dire une chose fausse.

13.5La VaR est dans l'échantillon

C'est un percentile des rendements observés sur la fenêtre même où le portefeuille a été optimisé. Ce n'est pas une estimation hors échantillon et cela ne dit rien des queues qui ne se sont pas manifestées dans cette fenêtre.

13.6Pas de levier, pas de découvert, pas de coûts

L'ensemble admissible (17) exclut la vente à découvert et le levier. Ni les frais, ni les fourchettes achat–vente, ni les impôts, ni les coûts de rééquilibrage n'entrent dans le calcul : les pondérations sont un point d'arrivée théorique, pas un ordre à exécuter.

14Références

Markowitz, H. (1952). « Portfolio Selection ». The Journal of Finance, 7(1), 77–91.
Sharpe, W. F. (1994). « The Sharpe Ratio ». The Journal of Portfolio Management, 21(1), 49–58.
Ledoit, O. et Wolf, M. (2004). « A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices ». Journal of Multivariate Analysis, 88(2), 365–411.
Stambaugh, R. F. (1997). « Analyzing investments whose histories differ in length ». Journal of Financial Economics, 45(3), 285–331.
Cornuéjols, G. et Tütüncü, R. (2007). Optimization Methods in Finance. Cambridge University Press — reformulation convexe du portefeuille tangent.
Meucci, A. (2009). « Managing Diversification ». Risk, 22(5), 74–79 — nombre effectif de paris indépendants.
Hirschman, A. O. (1964). « The Paternity of an Index ». The American Economic Review, 54(5), 761 — l'indice repris dans les éq. (28) et (29).
Kraft, D. (1988). A software package for sequential quadratic programming. DFVLR-FB 88-28 — l'algorithme SLSQP utilisé pour (18), (19) et (23).

15Révisions de la méthode

Sont listées ici les modifications qui changent un résultat ou la manière de l'obtenir. Les modifications de pure présentation n'y figurent pas : elles ne déplacent aucun chiffre.

15.1Version 1.1 — la devise est déclarée par la source

Devise de cotation. Elle était déduite du suffixe du symbole, puis du catalogue interne. Ce sont deux hypothèses, et à Londres elles sont fausses : la même place cote des lignes en dollars, en livres et en pence. Elle provient désormais des métadonnées de la réponse même qui porte les cours, et elle est conservée. Une devise erronée revenait à appliquer à un titre le taux de change d'une autre sur tout son historique.
Cours en centièmes. Londres cote plusieurs lignes en pence et la source le déclare (« GBp »). Le facteur cent se simplifie dans les rendements mais pas dans une contre-valeur : les quantités déduites d'un montant sortaient cent fois trop petites. Les cours en sous-multiples sont désormais ramenés à l'unité dès l'entrée.
Risque de change. Il est inclus par défaut : les cours sont convertis dans la devise de référence avant toute estimation, si bien que le change entre dans la moyenne, la volatilité et surtout les corrélations. Un interrupteur permet de l'exclure.
Contraintes de part minimale par catégorie. Outre le minimum sur un titre, une part minimale peut être imposée par type d'instrument, zone géographique ou secteur. Elle entre comme inégalité linéaire sur les poids, avec contrôle d'admissibilité avant le calcul et réparation exacte après.
BlissPoint Score. Ce n'est plus la moyenne des trois indices structurels. C'est la note de performance — fonction monotone du ratio de Sharpe, donc comparable d'une analyse à l'autre — corrigée d'un cinquième au plus par la structure du portefeuille. Voir §10.
Composition, trois axes au lieu d'un. La variété du panier n'est plus un indice unique : elle se lit séparément par type d'instrument, zone géographique et secteur. Les matières premières et les cryptomonnaies comptent comme exposition mondiale.
Stabilité. À prix et taux sans risque identiques, deux analyses du même panier donnent des chiffres identiques. Les quantités qui dépendent de la charge de la machine — densité du nuage du §8, nombre de points de la courbe du §7 — ne concernent que le dessin.

Note technique BlissPoint, version 1.1. Elle décrit le moteur en vigueur : quand les formules ou les paramètres changent, cette page change aussi.