De los precios a los pesos

1Notación y convenciones

La cesta tiene n valores observados en T sesiones. Todos los vectores son columnas; el apóstrofo indica la traspuesta y 1 es el vector de unos.

El año bursátil vale 252 sesiones. La anualización es aritmética — media por 252, desviación típica por la raíz de 252 — que es la convención de la teoría media–varianza, donde media y varianza son los momentos que se optimizan. No es una tasa de crecimiento compuesto y no debe serlo.

2Datos y construcción de la muestra

2.1Fuente y series brutas

Los precios son cierres diarios de Yahoo Finance, pedidos con ajuste por dividendos y desdoblamientos activado, desde el 1 de enero de 2000. Ningún otro dato entra en las estimaciones: la ficha del catálogo — clase de activo, país, sector — sirve solo a los índices estructurales de la sección 9, nunca a la optimización.

El histórico se detiene al final de ayer: toda fila con fecha de hoy queda excluida, sea cual sea la bolsa y sea cual sea la hora. Un precio intradía no es un cierre, pero la razón de un corte único es otra: una frontera que se desplaza durante el día — en cada cierre de bolsa y en cada caducidad de la caché de precios — hace que dos análisis idénticos pedidos con una hora de diferencia salgan con pesos distintos. La frontera es la medianoche de Greenwich, el único instante tras el cual una jornada ha terminado en todos los mercados, incluidas criptomonedas y divisas, que nunca cierran. Cuesta una sesión de actualidad y a cambio hace el análisis reproducible: los mismos valores, el mismo día, dan los mismos números. El periodo realmente usado se declara siempre en la página.

2.2Limpieza

Un precio nulo o negativo manda la rentabilidad a infinito, y desde ahí el infinito se propaga a media y covarianza hasta dejar la matriz sin sentido sin que nada lo señale. Los precios menores o iguales a cero se enmascaran por tanto antes de cualquier cálculo, y su número se indica en la ficha de datos.

2.3Calendario compartido

Los valores cotizados en bolsas distintas no tienen las mismas fechas: Milán cierra el 26 de diciembre, Nueva York no. La unión de fechas contiene los festivos de cada bolsa; la intersección exacta, con cincuenta valores, se vacía — si cada uno se salta el 5% de las sesiones, queda el 0,95⁵⁰ ≈ 7% del calendario.

El calendario de la cesta se define sobre las BOLSAS, no sobre los valores, y para cada bolsa lo declara la bolsa misma. Sea ℬ el conjunto de las m plazas en que cotiza la cesta y 𝒮_b el conjunto de sesiones de la plaza b, tomado de su calendario oficial: t es una sesión de la cesta cuando es sesión de al menos una cuota q_c = 0,8 de las plazas.

Las sesiones de una plaza son un hecho de la plaza, y hay que preguntárselas a ella: el 4 de julio Nueva York está cerrada y Milán no, el lunes de Pascua es al revés, y ninguna de las dos cosas depende de qué valores se haya elegido analizar. Vienen de exchange_calendars, la biblioteca de referencia para los calendarios bursátiles. Deducirlas de los valores presentes — «la plaza estaba abierta si negoció el 80% de sus valores» — significaba que un valor añadido a la cesta, y quizá descartado por el optimizador, podía quitar sesiones a todos los demás: ocho sesiones no cotizadas por el recién llegado hacían bajar las observaciones de TODOS de 6.697 a 6.689, y las medias se movían. Para una plaza cuyo calendario no se conoce se vuelve a contar valores, y es el único caso que queda en que la cesta toca el calendario.

Las casillas que quedan vacías dentro del calendario se rellenan arrastrando la última cotización conocida, durante no más de 5 días. Lo que queda descubierto después es una suspensión de verdad: esa fecha sale, porque la cesta no es observable toda junta.

Las rentabilidades son simples y se calculan sobre el calendario resultante:

Una rentabilidad que salta un hueco de más de 15 días de calendario se descarta: sería la variación de dos semanas puesta en fila con las de un día.

2.4Valores excluidos, y por qué

Dos reglas quitan valores de la muestra, y en ambos casos la página escribe cuál y por qué motivo.

• Un valor que dentro del calendario tiene precios propios en menos del 50% de las fechas no aporta precios, aporta arrastres: su volatilidad estimada sale más baja que la real y la cartera de mínima varianza se le acumula encima.
• Un valor cuya exclusión duplicaría la historia utilizable está pagando él solo más que todos los demás juntos. El umbral del doble no es un ajuste fino: separa «este valor cuesta un trozo de historia» de «este valor cuesta la historia».

Por debajo de 30 observaciones comunes no se estima nada: no hay material ni para empezar.

3Estimación de los momentos

3.1Por qué no la covarianza muestral

La covarianza muestral está pésimamente condicionada cuando las observaciones no son muchas más que los activos: los autovalores más pequeños se subestiman sistemáticamente, el optimizador los confunde con direcciones casi sin riesgo y concentra ahí la cartera. Por eso la frontera muestral es notoriamente inestable y los pesos saltan de un día para otro.

3.2Correlaciones suavizadas

Sea X la matriz T × n de rentabilidades y X_c la misma centrada por columnas. De la covarianza muestral insesgada se extraen las desviaciones típicas y la matriz de correlación:

Las correlaciones se tiran hacia cero en una cuota δ que depende solo de cuánta historia hay — no del número de valores:

y la covarianza usada aguas abajo se recompone con las desviaciones típicas muestrales, que siguen siendo las de cada valor:

3.3Definida positividad

Los redondeos pueden dejar autovalores ligeramente negativos, y entonces w′Σw puede salir negativo con raíz cuadrada de un número negativo aguas abajo. La matriz se simetriza y los autovalores se truncan por abajo en λ_max · 10⁻¹². El número de condición resultante se indica en el diagnóstico.

3.4Historias de distinta longitud

La muestra común es la opción más prudente y la más derrochadora: la ventana arranca en la primera cotización del valor más joven, así que un ETF nacido en 2021 tira quince años de historia de todos los demás.

Se estima entonces cada casilla sobre los valores que esa casilla concierne: la media de un valor sobre SU serie, entera, y la correlación de una pareja sobre los días en que estaban los dos. Ningún valor joven acorta ya nada a nadie y — esta es la propiedad que importa — añadir un valor al análisis no puede cambiar ninguno de los números de los demás, porque ninguno de esos números lo ha mirado nunca.

Las dos objeciones clásicas a esta elección son conocidas y hay que afrontarlas. La primera: números estimados sobre muestras distintas pueden componer una matriz no semidefinida positiva, y el optimizador encontraría enseguida las direcciones de varianza negativa, porque son exactamente las que busca. La defensa es suavizar las correlaciones hacia cero (§3.2), lo que eleva los autovalores, y añadir — si el más pequeño sigue siendo negativo — la corrección MÍNIMA que lo lleva por encima de cero. Con solapamientos que difieren en unos días sobre miles no hace falta casi nunca.

La segunda objeción es que las medias se vuelven incomparables entre sí: un valor que cotiza desde hace dos años lleva la media de sus dos años, y si esos dos años fueron un mercado alcista su media es alta por un motivo que no es suyo — y el optimizador, que se bebe las medias, se lanza sobre él. Es el daño que repara el método de Stambaugh (1997), regresando el valor joven sobre los valores con historia más larga DE LA CESTA, y es precisamente ese «de la cesta» lo inaceptable aquí: añadir un valor con historia completa a una cesta que contenía uno cotizado más tarde movía la media de este último 0,013 puntos al año, y con ella la última cifra de los números en pantalla.

La referencia es entonces una que la cesta no puede tocar: el ÍNDICE DEL MERCADO en que cotiza el valor — el S&P 500 para Nueva York, el Euro Stoxx 50 para la zona euro, el Nikkei para Tokio. Cada valor se descompone en r_i = α_i + β_i B_i + e_i: un trozo de mercado y una parte suya. El primero se puede alargar, porque el índice existe sobre TODO el periodo del análisis, incluidos los años en que el valor aún no cotizaba; el segundo no, y sigue medido donde el valor estuvo. De ahí media, varianza y covarianza:

media_i = α_i + β_i · media(B_i sobre todo el periodo)  ·  var_i = β_i² var(B_i sobre todo) + var(e_i)  ·  cov_ij = β_i β_j cov(B_i, B_j sobre todo) + cov(e_i, e_j en los días de ambos)

No se inventa ningún precio: solo se dice que de ese valor se sabe cuánto se mueve con su mercado y cuánto ha oscilado por su cuenta, y que el mercado se conoce desde hace veinticinco años. Un valor presente en todo el periodo no se toca — «el índice sobre todo» y «el índice en su periodo» son lo mismo, y la descomposición de mínimos cuadrados hace de β²var(B) + var(e) exactamente su varianza muestral: el alargamiento vale cero. No hace falta por tanto ningún umbral entre historia «corta» y «larga». Medido: un valor cotizado desde 2023, entre valores con veinticinco años de historia, pasa del 16,9% al 23,0% de volatilidad anual — la de sus pares — porque hereda las crisis de su mercado que no vivió, y su rentabilidad esperada baja del 28,5% al 20,7%.

Cada pieza del cálculo — la beta, los momentos del índice, las fechas del solapamiento — depende solo de ese valor y de su índice; la covarianza de los residuos, solo de la pareja. Añadir un valor al análisis no cambia ninguna de esas cantidades. Por debajo de 60 observaciones comunes con el índice la beta es ruido y no se alarga nada; la beta se trunca en ±3; si el índice no llega de la fuente, ese mercado queda sin alargar y el análisis continúa. La página de resultados nombra los valores alargados.

El método de Stambaugh (1997) sigue implementado y se activa con una variable de entorno, para quien prefiera la estimación más fina a la estabilidad. Ordenados los valores por longitud de historia, sobre el bloque largo L se estiman μ_L y Σ_LL con todas sus observaciones; en el periodo de solapamiento se regresa el bloque corto S sobre el largo,

y se reconstruyen los momentos del bloque corto usando los momentos completos del bloque largo:

El centrado en la media del periodo de solapamiento en (7) es lo que hace de (8) una corrección de verdad: la media del valor joven se lleva al periodo largo a través de su beta, es decir, corregida por que su ventana de cotización fuera un mercado alcista o bajista.

La semidefinida positividad del resultado es algebraica, no numérica. La matriz conjunta se factoriza como congruencia de una diagonal por bloques:

Mientras Σ_LL y Σ_ε sean semidefinidas positivas, también lo es el resultado.

3.5Regularización de la regresión (método opcional)

Con cien valores largos y doscientos días de solapamiento, los mínimos cuadrados ordinarios tienen rango insuficiente: se ajustarían al ruido y las betas no valdrían nada. Se regresa por tanto sobre las primeras k componentes principales de Σ_LL, ortogonales por construcción, con

es decir, al menos diez observaciones de solapamiento por componente. Los coeficientes vuelven luego al espacio de los valores como B = β′V′, donde V reúne las componentes en columnas. Con solapamiento abundante y pocas componentes pedidas el resultado coincide con los mínimos cuadrados ordinarios.

Por debajo de 20 días de solapamiento no se regresa en absoluto: una beta equivocada es peor que un valor de menos, porque se propaga a toda su fila de covarianza. Esos valores quedan fuera y la página lo declara.

3.6Anualización

4Tasa libre de riesgo

El Sharpe es rentabilidad en exceso dividida por volatilidad, así que la tasa no es un detalle: es la mitad del numerador. Además debe ser la de la divisa en la que se mide la rentabilidad — restar el SOFR a una cartera cotizada en euros no es una aproximación, es un error de unidad de medida.

4.1Fuentes y convención

Se usan los tipos a un día oficiales: €STR publicado por el Banco Central Europeo para el euro, SOFR publicado por la Reserva Federal de Nueva York para el dólar. Ambos se cotizan en convención ACT/360 y se llevan a año civil antes de entrar en el Sharpe:

Sin ese paso el tipo quedaría infravalorado un 1,4%. El valor usado, la fuente y el día de referencia están escritos junto al Sharpe de cada cartera: quien compara dos números debe poder ver si se midieron con la misma vara.

4.2Cestas multidivisa

Cuando la divisa de referencia la elige quien analiza se usa el tipo de esa divisa y nada más: la tasa libre de riesgo es lo que renta tener el dinero quieto, y el dinero quieto lo tiene quien analiza, en su divisa.

Para las llamadas internas, donde nadie ha elegido, la cesta ya está medida en una unidad compuesta — las rentabilidades no se convierten al cambio — y el equivalente sin riesgo de esa unidad es la media de los tipos de esas mismas divisas. Los pesos correctos serían los de la cartera, que sin embargo solo se conocen tras optimizar mientras que optimizar necesita el tipo: se usan entonces las cuotas del universo, es decir cuántos valores por divisa, y la parte no cubierta por una fuente primaria se repondera sobre la cubierta.

donde π_v es la cuota de valores cotizados en la divisa v y 𝒞 el conjunto de divisas con fuente primaria configurada. Si ninguna fuente responde, el tipo vale cero y la página lo declara: el Sharpe vuelve a ser el cociente entre rentabilidad y oscilación.

5Métricas de cartera

5.1Rentabilidad, riesgo, Sharpe

5.2Valor en riesgo

El VaR es histórico, no paramétrico: se construye la serie de rentabilidades diarias de la cartera y se toma su percentil. Para el nivel de confianza c,

calculado a los niveles c ∈ {0,90; 0,95; 0,99}. Los tres niveles no se repiten entre sí: el 90 dice cómo es un día malo corriente, el 99 cómo es uno malo de verdad, y la distancia entre ambos dice cuánto pesa la cola — es decir si la cartera pierde despacio o a tirones.

6Las dos carteras

6.1Conjunto admisible

Solo posición larga y capital íntegramente invertido. Los pesos mínimos escritos por quien analiza entran como cota inferior de cada variable:

Sin ventas en corto, sin apalancamiento, sin tope por valor. El conjunto es un politopo convexo y compacto, no vacío mientras 1′m ≤ 1.

6.2Mínima varianza

Se minimiza la varianza y no la volatilidad: la raíz cuadrada no mueve el punto de mínimo pero empeora el condicionamiento del gradiente cerca de cero. El problema es un QP convexo y se resuelve con SLSQP desde dos puntos de partida — pesos iguales e inverso de la varianza — quedándose con el mejor.

6.3Cartera tangente

Maximizar directamente el ratio de Sharpe es un problema no convexo: un solucionador partido de un solo punto puede pararse en un máximo local, y el punto «óptimo» acaba fuera de la frontera. Se usa entonces la reformulación de Cornuéjols y Tütüncü. Puesto el exceso e = μ − r_f1, si max_i e_i > 0 se resuelve

y se normaliza:

El problema (19) es convexo, luego tiene un único mínimo global, y (20) devuelve exactamente la cartera tangente: el ratio de Sharpe es invariante de escala, y eso es lo que hace lícita la normalización final.

Cuando ningún valor bate la tasa libre de riesgo la tangente no existe — ninguna recta que salga de r_f toca la frontera desde arriba — y la página muestra la cartera de mínima varianza declarando el caso.

6.4Los mínimos en la variable auxiliar

En (19) no se optimiza sobre los pesos sino sobre y, y una cota inferior sobre w no es una cota inferior sobre y: depende de 1′y, que a su vez es una variable. La condición se reescribe sin embargo en y, y sale lineal — así que el problema sigue siendo un QP convexo:

6.5Restricciones exactas por construcción

Un solucionador numérico respeta los límites dentro de su tolerancia, y «dentro de la tolerancia» no es «siempre»: un peso puede salir al 9,9998% donde el mínimo pedido era 10%. Sobre una restricción escrita por quien analiza no es aceptable. Toda cartera admisible se escribe de un solo modo,

y la correspondencia es biunívoca. La solución del solucionador se lleva por tanto a esta parametrización: se toma la parte que excede los mínimos, se reescala a suma uno y se reconstruye w. El resultado respeta los mínimos a la cifra, no a la tolerancia.

6.6Selección entre candidatos

Además de la solución del QP se calculan dos maximizaciones directas desde puntos de partida distintos, como red de seguridad. Entre los candidatos gana el ratio de Sharpe más alto redondeado a la sexta cifra y, en empate, la rentabilidad más alta: a igual precio en oscilación, más resultado. Sin la tolerancia dos Sharpe nunca serían iguales — difieren en la decimoquinta cifra — y el segundo criterio no entraría nunca en juego.

7Frontera eficiente

7.1El problema paramétrico

Para cada rentabilidad objetivo se resuelve un QP convexo:

con R_k equiespaciados entre la rentabilidad de la cartera de mínima varianza y la del vértice extremo. Sin restricciones el vértice es el mejor valor individual; con los mínimos ya no se puede poner todo en uno solo, y pasa a ser «todo lo que sobra, en el mejor».

La rama eficiente usa 70 puntos hacia arriba; la rama de las carteras dominadas usa 40 hacia abajo, sustituyendo arg max por arg min en la elección del vértice. Las dos ramas juntas son el contorno de la región admisible, la forma de bala de los manuales.

7.2Orden por refinamiento

Los puntos no se resuelven de izquierda a derecha sino por bisección sucesiva: primero los dos extremos, luego el punto medio, luego los medios de las dos mitades, y así. Dos consecuencias útiles. La primera: cada punto nuevo está entre dos ya resueltos, así que parte de la interpolación de sus soluciones — a lo largo de la frontera los pesos se mueven de forma casi lineal, y el solucionador llega casi convergido. La segunda: si el tiempo se acaba, lo que se pierde es la densidad de la curva, no su extensión.

El control del tiempo se hace antes de empezar un punto, no después: se estima el coste como media de los puntos ya resueltos y no se empieza el siguiente si no hay sitio para dos. Los primeros 17 puntos se resuelven de todos modos — por debajo de ese umbral no hay una curva, hay una poligonal.

8Nube de carteras aleatorias

El fondo del gráfico es una muestra de carteras admisibles extraídas al azar. Un Dirichlet uniforme parecería la opción obvia, pero con n activos los pesos se concentran en torno a 1/n: la nube resulta una mancha central que nunca se acerca a la frontera, haciéndola parecer despegada de los datos.

Se extrae por tanto de una mezcla de Dirichlet simétricas con concentración variable:

con probabilidades (0,25; 0,30; 0,25; 0,20). Los α pequeños producen carteras concentradas, cerca de los vértices del símplex; los α grandes carteras repartidas. Juntos cubren de verdad la región admisible.

Las extracciones son 40 000 hasta treinta valores y 20 000 por encima, con semilla fija — el mismo análisis devuelve siempre la misma imagen — y se calculan por bloques de 4 000 escenarios, así la memoria no depende del número de extracciones.

En el dibujo cada escenario es un punto, coloreado por su propio ratio de Sharpe en la escala viridis. No entran todos en la imagen: se dibuja uno cada k, con k fijo y no aleatorio, hasta un máximo de doce mil puntos. La muestra es por tanto regular — misma forma y misma densidad relativa que el conjunto completo — y la memoria que necesita el dibujo no crece con el número de extracciones.

9Los tres índices estructurales

Junto a las dos carteras la página muestra tres números de 0 a 100 que no contienen rentabilidad ni riesgo. Los tres responden a la misma pregunta planteada a niveles distintos — cuánto se apoya la cartera en una sola cosa — y se llaman independencia, concentración y variedad.

9.1La curva común

Dos de los tres índices parten de un recuento efectivo y lo transforman en nota con la misma función, de modo que «54» signifique lo mismo en las dos fichas:

redondeada al entero y truncada a [0, 100]. La curva satura: 1 recuento efectivo vale 0, 2 valen 28, 3 valen 49, 5 valen 74, 8 valen 90. Pasar de ocho a diez mueve poco, y es justo — la diferencia de verdad está entre uno y tres.

9.2Independencia

Cuántos valores distintos se están teniendo en la práctica. A partir de la matriz de correlación derivada de la covarianza ya estimada,

se toman los autovalores λ₁, …, λ_n y se cuenta el número efectivo de direcciones independientes como razón de participación del espectro:

La igualdad de la derecha vale porque la traza de una matriz de correlación es n. El valor se trunca a [1, n] y la nota es v(N_ind). Cinco valores todos correlacionados a 0,8 dan 1,4: cinco nombres, una sola apuesta.

La ficha muestra también la correlación media de todas las parejas y la pareja más parecida, que son el mismo C leído de otro modo — ninguna medida adicional.

9.3Concentración

Cuánto depende la cartera de pocos valores. Sobre la asignación óptima w se calcula el inverso del índice de Herfindahl:

y es el número de valores que, todos a igual peso, darían la misma concentración: diez al 10% dan diez, uno al 90% con otros nueve residuales da alrededor de uno. La nota es de nuevo v(N_eff).

Independencia y concentración pueden dar respuestas opuestas, y hacen falta las dos: diez valores idénticos son poco independientes pero poco concentrados; dos valores descorrelacionados son independientes pero muy concentrados. El número grande de la ficha va en el sentido de la nota — más alto, peso más repartido — mientras que la palabra que lo acompaña va en sentido contrario, porque un peso poco repartido es una concentración alta.

9.4Variedad

Sobre cuántas categorías distintas se apoya la cartera óptima. Se mira a través de tres lentes — tipo de inversión, área geográfica, sector — obtenidas de la ficha del catálogo y, para los fondos, del nombre del instrumento.

Para cada lente, siendo q₁, …, q_K las cuotas normalizadas sobre la parte clasificada, el número efectivo de categorías es de nuevo un inverso de Herfindahl:

Las dos escalas que salen son sin embargo distintas, y a propósito. El tipo tiene un denominador conocido — las familias son tres: acciones, bonos, materias primas — así que la nota puede decir «una de tres» en vez de «lejos del máximo teórico»:

Área y sector no tienen un total fijado — las áreas del mundo son cinco, los sectores once — y usan una curva saturante calibrada sobre cuántas categorías existen de verdad, apoyada en un suelo de escala no nulo:

Una lente entra en la nota solo si cubre al menos el 50% de la cartera: por debajo sabe demasiado poco, y contarla mal es peor que no contarla. Los porcentajes mostrados en pantalla, en cambio, se refieren siempre solo a la parte a la que la pregunta se aplica — «¿de qué sector eres?» a un lingote de oro no es una pregunta sin respuesta, es una pregunta que no se plantea.

9.5Pesos de las lentes y carteras de una sola clase

En el caso ordinario la clase de activo lleva tres cuartos de la nota y la geografía un cuarto: es la clase de activo la que decide de qué tipo de riesgo depende la cartera. El sector se muestra pero no pesa — es la lente más ruidosa, y repite lo que la concentración ya dice mejor.

Una cesta de solo acciones tiene sin embargo por construcción una sola clase de activo, y con los pesos ordinarios la lente principal valdría 33 arrastrando tres cuartos del juicio. Pero esa variedad existe — no al nivel de la clase de activo, un piso más abajo, en los sectores y las áreas. Puesto

el grado de «clase única», los pesos se deslizan con continuidad entre los dos ajustes:

La nota bruta es la media ponderada de las lentes que pesan de verdad, y sobre ella actúan dos correctivos.

El correctivo de renta variable. El recuento de categorías es ciego al sentido: 80% acciones y 20% bonos tiene la misma variedad que su contrario, pero el segundo es una cartera sin motor. Siendo a la cuota de acciones de lo clasificado,

La penalización por clase única. Mover el peso no es absolver: una cartera toda de acciones, por bien repartida que esté entre sectores, depende de una sola cosa — si baja la bolsa baja todo junto.

y la nota final es

El techo para quien tiene una sola clase sigue siendo el 80% del de quien tiene de verdad más de una, y ahora lo dicen dos cosas juntas en vez de un multiplicador solo: el tipo clavado en 33 dentro de la media ponderada, y la (35) para el resto. En efecto 0,20 · 33 + 0,80 · 100 = 86,6 y 86,6 · 0,92 = 80.

Cuando ninguna lente supera el umbral de cobertura la variedad no se juzga: la ficha se queda sin nota en vez de mostrar una inventada.

10BlissPoint Score

La media aritmética de los índices disponibles, redondeada:

Las tres lentes pesan igual: no hay razón para decir que una cuente más que las otras, y una ponderación arbitraria sería más difícil de explicar que de escribir. La variedad puede faltar — una cartera de solo fondos multiactivo no tiene sector ni país para la mitad de su peso — y entonces la media se hace sobre las dos restantes, declarando sobre cuántas lentes se apoya. Por debajo de dos no se calcula nada: una media de una sola no es una media, es esa puntuación con otro nombre.

La página muestra también cuál de las tres es la más baja, porque es la información que la media borra y casi siempre la que se quiere saber justo después.

11Franjas de lectura

Las franjas sirven para hacer entender si un número es mucho o poco, y nada más. No son un estándar y no son una previsión: dependen del periodo y de los datos analizados, y la misma cartera puede cambiar de franja si cambia la ventana histórica.

El umbral del cero es el único no arbitrario de los cuatro del Sharpe, porque cambia el signo del significado: por debajo, la cartera rindió menos que la tasa libre de riesgo y la oscilación soportada no se pagó. Por encima de 2 el cociente es tan bueno que casi siempre depende de una ventana histórica afortunada más que de una propiedad estable — por eso la franja más alta lleva una advertencia en vez de un cumplido.

12Parámetros

Todas las constantes que entran en los cálculos, con el valor vigente. Están fijadas en el código e idénticas para cada análisis: dos cestas distintas se pueden comparar porque se midieron con la misma vara.

13Límites declarados

Lo que sigue no es una lista de defectos a corregir algún día: son las condiciones dentro de las cuales valen las cifras de este documento. Quien las use debe conocerlas.

13.1Es todo historia

Media y covarianza son estimaciones sobre precios pasados. La rentabilidad pasada no predice la futura, ninguna cifra mostrada es una previsión y ningún porcentaje es una promesa. En particular, la media es con mucho el insumo más frágil de la teoría media–varianza: pequeños errores de estimación se amplifican en los pesos. Por eso la página muestra también la cartera de mínima varianza, que no depende en absoluto de la media.

13.2Sin conversión de cambio

Las rentabilidades son variaciones de precio en la divisa de cotización de cada valor, sin conversión. Una cesta mixta se mide por tanto en una unidad compuesta. La conversión se implementó y se retiró: correcta en teoría, exigía las series de cambio, y cada cambio ausente era un valor excluido más sobre una fuente que ya cuesta que sirva los precios — a cambio movía la frontera sin que se pudiera decir si el movimiento era el cambio o un dato ausente.

13.3Un valor excluido de cotización aún acorta la ventana

Las historias que comienzan en momentos distintos ya no son un problema: cada valor aporta la suya, y las medias de los más jóvenes se enderezan con el índice de su mercado (§3.4). El lado derecho no: un valor que dejó de cotizar antes que los demás sigue acortando la ventana para todos. Un retraso de publicación dentro de los cinco días de arrastre se perdona — si no, a las seis de la tarde un valor de Milán le quitaría la última sesión a uno de Nueva York — pero un final de verdad sigue siendo un final, y se paga en común.

13.4La clasificación no es perfecta

Las tres lentes del §9.4 se apoyan en la ficha del catálogo y, para los fondos, en lo que el nombre declara. Un fondo cuyo nombre no dice qué contiene queda sin clasificar, y la página lo escribe con nombre y peso en vez de forzarlo en una casilla. La distinción entre «dato ausente» y «pregunta que no se plantea» es explícita: el oro no tiene sector, y decir «no clasificado» sería decir algo falso.

13.5El VaR es dentro de muestra

Es un percentil de las rentabilidades observadas en la misma ventana en que se optimizó la cartera. No es una estimación fuera de muestra y no dice nada de colas que en esa ventana no se manifestaron.

13.6Sin apalancamiento, sin corto, sin costes

El conjunto admisible (17) excluye ventas en corto y apalancamiento. No entran en el cálculo comisiones, horquillas de compra–venta, impuestos ni costes de reequilibrio: los pesos son un punto de llegada teórico, no una orden que ejecutar.

14Referencias

• Markowitz, H. (1952). «Portfolio Selection». The Journal of Finance, 7(1), 77–91.
• Sharpe, W. F. (1994). «The Sharpe Ratio». The Journal of Portfolio Management, 21(1), 49–58.
• Ledoit, O. y Wolf, M. (2004). «A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices». Journal of Multivariate Analysis, 88(2), 365–411.
• Stambaugh, R. F. (1997). «Analyzing investments whose histories differ in length». Journal of Financial Economics, 45(3), 285–331.
• Cornuéjols, G. y Tütüncü, R. (2007). Optimization Methods in Finance. Cambridge University Press — reformulación convexa de la cartera tangente.
• Meucci, A. (2009). «Managing Diversification». Risk, 22(5), 74–79 — número efectivo de apuestas independientes.
• Hirschman, A. O. (1964). «The Paternity of an Index». The American Economic Review, 54(5), 761 — el índice retomado en las ec. (28) y (29).
• Kraft, D. (1988). A software package for sequential quadratic programming. DFVLR-FB 88-28 — el algoritmo SLSQP usado para (18), (19) y (23).

15Revisiones del método

Se enumeran aquí los cambios que alteran un resultado o el modo de obtenerlo. Los cambios de mera presentación no aparecen: no mueven ningún número.

15.1Versión 1.1 — la divisa la declara la fuente

• Divisa de cotización. Antes se deducía del sufijo del símbolo y luego del catálogo interno. Ambas son suposiciones, y en Londres son erróneas: en el mismo mercado conviven líneas en dólares, en libras y en peniques. Ahora procede de los metadatos de la misma respuesta que trae los precios, y se conserva. Una divisa equivocada suponía aplicar a un valor el tipo de cambio de otra durante todo su histórico.
• Precios en céntimos. Londres cotiza varias líneas en peniques y la fuente lo declara («GBp»). El factor cien se simplifica en las rentabilidades pero no en un contravalor: las cantidades deducidas de un importe salían cien veces más pequeñas. Los precios en submúltiplos se llevan ahora a la unidad al entrar.
• Riesgo de cambio. Se incluye por defecto: los precios se convierten a la divisa de referencia antes de cualquier estimación, de modo que el cambio entra en la media, la volatilidad y sobre todo las correlaciones. Un interruptor permite excluirlo.
• Restricciones de peso mínimo por categoría. Además del mínimo sobre un valor, puede imponerse una cuota mínima por tipo de instrumento, área geográfica o sector. Entra como desigualdad lineal sobre los pesos, con comprobación de admisibilidad antes del cálculo y reparación exacta después.
• BlissPoint Score. Ya no es la media de los tres índices estructurales. Es la nota de rentabilidad — función monótona del Sharpe, por tanto comparable entre análisis — corregida como máximo en un quinto por la estructura de la cartera. Véase §10.
• Composición, tres ejes en lugar de uno. La variedad de la cesta ya no es un índice único: se lee por separado por tipo de instrumento, área geográfica y sector. Las materias primas y las criptomonedas cuentan como exposición global.
• Estabilidad. Con los mismos precios y el mismo tipo sin riesgo, dos análisis de la misma cesta dan cifras idénticas. Las magnitudes que dependen de la carga de la máquina —la densidad de la nube del §8 y el número de puntos de la curva del §7— afectan solo al dibujo.