Von Kursen zu Gewichten

1Notation und Konventionen

Der Korb enthält n Titel, beobachtet über T Handelstage. Alle Vektoren sind Spalten; der Strich bezeichnet die Transponierte und 1 ist der Einsvektor.

Das Börsenjahr hat 252 Handelstage. Die Annualisierung ist arithmetisch — Mittelwert mal 252, Standardabweichung mal Wurzel aus 252 —, die Konvention der Mittelwert-Varianz-Theorie, in der Mittelwert und Varianz die optimierten Momente sind. Es ist keine zusammengesetzte Wachstumsrate und soll auch keine sein.

2Daten und Stichprobenbildung

2.1Quelle und Rohreihen

Die Kurse sind Tagesschlusskurse von Yahoo Finance, abgerufen mit Dividenden- und Split-Bereinigung, ab 1. Januar 2000. Keine weiteren Daten fließen in die Schätzungen: Die Stammdaten des Katalogs — Anlageklasse, Land, Branche — dienen nur den Strukturkennzahlen in Abschnitt 9, nie der Optimierung.

Die Historie endet mit dem gestrigen Tag: Jede Zeile mit dem heutigen Datum wird ausgeschlossen, gleich welche Börse und gleich zu welcher Stunde. Ein Intraday-Kurs ist kein Schlusskurs, doch der Grund für einen einheitlichen Schnitt ist ein anderer: Eine Grenze, die sich im Tagesverlauf verschiebt — bei jedem Börsenschluss und bei jedem Ablauf des Kurs-Caches — lässt zwei identische, im Abstand einer Stunde angeforderte Auswertungen mit unterschiedlichen Gewichten enden. Die Grenze ist Mitternacht Greenwich, der einzige Zeitpunkt, nach dem ein Tag auf jedem Markt abgeschlossen ist, auch bei Krypto und Währungen, die nie schließen. Das kostet eine Sitzung Aktualität und macht die Auswertung dafür reproduzierbar: dieselben Titel, am selben Tag, ergeben dieselben Zahlen. Der tatsächlich verwendete Zeitraum wird stets auf der Seite genannt.

2.2Bereinigung

Ein Kurs von null oder darunter schickt die Rendite ins Unendliche, und von dort pflanzt sich das Unendliche in Mittelwert und Kovarianz fort, bis die Matrix sinnlos ist, ohne dass es auffällt. Kurse kleiner oder gleich null werden daher vor jeder Rechnung maskiert, und ihre Anzahl steht in der Datenkarte.

2.3Gemeinsamer Kalender

An verschiedenen Börsen notierte Titel haben nicht dieselben Daten: Mailand schließt am 26. Dezember, New York nicht. Die Vereinigung der Daten enthält die Feiertage jeder einzelnen Börse; der exakte Schnitt leert sich bei fünfzig Titeln — fehlt jeder an 5% der Sitzungen, bleiben 0,95⁵⁰ ≈ 7% des Kalenders.

Der Kalender des Korbs wird über die BÖRSEN definiert, nicht über die Titel, und für jede Börse erklärt ihn die Börse selbst. Sei ℬ die Menge der m Plätze, an denen der Korb notiert ist, und 𝒮_b die Menge der Sitzungen des Platzes b laut seinem offiziellen Kalender: t ist eine Sitzung des Korbs, wenn sie eine Sitzung von mindestens einem Anteil q_c = 0,8 der Plätze ist.

Die Sitzungen eines Platzes sind eine Tatsache des Platzes und bei ihm zu erfragen: Am 4. Juli ist New York geschlossen und Mailand nicht, am Ostermontag ist es umgekehrt, und keines von beidem hängt davon ab, welche Titel man zur Auswertung gewählt hat. Sie stammen aus exchange_calendars, der Referenzbibliothek für Börsenkalender. Sie stattdessen aus den vorhandenen Titeln abzuleiten — «der Platz war offen, wenn 80% seiner Titel gehandelt wurden» — hieß, dass ein dem Korb hinzugefügter und vom Optimierer womöglich verworfener Titel allen anderen Sitzungen wegnehmen konnte: acht vom Neuling nicht gehandelte Sitzungen ließen die Beobachtungen ALLER von 6.697 auf 6.689 sinken, und die Mittelwerte verschoben sich. Für einen Platz mit unbekanntem Kalender wird wieder gezählt, und das ist der einzige verbliebene Fall, in dem der Korb den Kalender berührt.

Zellen, die im Kalender leer bleiben, werden mit dem letzten bekannten Kurs gefüllt, höchstens 5 Tage lang. Was danach unbedeckt bleibt, ist eine echte Aussetzung: Dieser Tag fällt heraus, weil der Korb nicht als Ganzes beobachtbar ist.

Die Renditen sind einfach und werden auf dem entstandenen Kalender berechnet:

Eine Rendite, die eine Lücke von mehr als 15 Kalendertagen überspringt, wird verworfen: Sie wäre die Bewegung zweier Wochen in einer Reihe mit Tagesbewegungen.

2.4Ausgeschlossene Titel, und warum

Zwei Regeln nehmen Titel aus der Stichprobe, und in beiden Fällen nennt die Seite welchen und weshalb.

• Ein Titel, der im Kalender an weniger als 50% der Tage eigene Kurse hat, liefert keine Kurse, sondern Fortschreibungen: Seine geschätzte Volatilität fällt zu niedrig aus, und das Minimum-Varianz-Portfolio häuft sich auf ihm an.
• Ein Titel, dessen Entfernung die nutzbare Historie verdoppeln würde, kostet allein mehr als alle anderen zusammen. Die Verdopplungsschwelle ist keine Feinjustierung: Sie trennt «dieser Titel kostet ein Stück Historie» von «dieser Titel kostet die Historie».

Unter 30 gemeinsamen Beobachtungen wird nichts geschätzt: Es fehlt sogar das Material zum Anfangen.

3Schätzung der Momente

3.1Warum nicht die Stichprobenkovarianz

Die Stichprobenkovarianz ist schlecht konditioniert, wenn die Beobachtungen nicht deutlich zahlreicher sind als die Anlagen: Die kleinsten Eigenwerte werden systematisch unterschätzt, der Optimierer hält sie für nahezu risikolose Richtungen und häuft das Portfolio dort an. Daher die berüchtigte Instabilität der Stichprobenlinie und Gewichte, die von Tag zu Tag springen.

3.2Gedämpfte Korrelationen

Sei X die T × n-Matrix der Renditen und X_c dieselbe, spaltenweise zentriert. Aus der erwartungstreuen Stichprobenkovarianz werden die Standardabweichungen und die Korrelationsmatrix gewonnen:

Die Korrelationen werden um einen Anteil δ gegen null gezogen, der allein von der Länge der Historie abhängt — nicht von der Zahl der Titel:

und die nachgelagert verwendete Kovarianz wird mit den empirischen Standardabweichungen wieder zusammengesetzt, die die des jeweiligen Titels bleiben:

3.3Positive Definitheit

Rundungsfehler können leicht negative Eigenwerte hinterlassen, und dann kann w′Σw negativ ausfallen — mit einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl weiter unten. Die Matrix wird symmetrisiert und die Eigenwerte nach unten auf λ_max · 10⁻¹² beschnitten. Die resultierende Konditionszahl steht in der Diagnose.

3.4Unterschiedlich lange Historien

Die gemeinsame Stichprobe ist die vorsichtigste und verschwenderischste Wahl: Das Fenster beginnt mit der ersten Notierung des jüngsten Titels, ein 2021 aufgelegter ETF wirft also fünfzehn Jahre Historie aller anderen weg.

Jede Zelle wird daher an den Titeln geschätzt, die sie betrifft: der Mittelwert eines Titels an SEINER Reihe, ganz, und die Korrelation eines Paares an den Tagen, an denen beide da waren. Kein junger Titel kürzt mehr irgendjemandem etwas, und — das ist die entscheidende Eigenschaft — ein weiterer Titel in der Auswertung kann keine der Zahlen der anderen ändern, weil keine dieser Zahlen ihn je angesehen hat.

Die beiden klassischen Einwände gegen diese Wahl sind bekannt und müssen beantwortet werden. Erstens: Auf verschiedenen Stichproben geschätzte Zahlen können eine nicht positiv semidefinite Matrix ergeben, und der Optimierer fände die Richtungen negativer Varianz sofort, denn genau die sucht er. Die Abwehr besteht darin, die Korrelationen gegen null zu dämpfen (§3.2), was die Eigenwerte anhebt, und — falls der kleinste danach noch negativ ist — die MINIMALE Korrektur zu addieren, die ihn über null bringt. Bei Überlappungen, die sich um wenige Tage von Tausenden unterscheiden, wird sie fast nie gebraucht.

Der zweite Einwand lautet, die Mittelwerte würden untereinander unvergleichbar: Ein seit zwei Jahren notierter Titel trägt den Mittelwert seiner zwei Jahre, und waren diese eine Hausse, ist sein Mittelwert aus einem Grund hoch, der nicht seiner ist — und der Optimierer, der Mittelwerte pur trinkt, stürzt sich darauf. Das ist der Schaden, den Stambaughs Methode (1997) behebt, indem sie den jungen Titel auf die Titel mit längerer Historie IM KORB regressiert — und genau dieses «im Korb» ist hier untragbar: Ein Titel mit voller Historie, einem Korb hinzugefügt, der einen später notierten enthielt, verschob dessen Mittelwert um 0,013 Punkte im Jahr und mit ihm die letzte Stelle der angezeigten Zahlen.

Die Referenz ist daher eine, die der Korb nicht berühren kann: der INDEX DES MARKTES, an dem der Titel notiert ist — S&P 500 für New York, Euro Stoxx 50 für den Euroraum, Nikkei für Tokio. Jeder Titel zerlegt sich als r_i = α_i + β_i B_i + e_i: ein Stück Markt und ein eigener Teil. Das erste lässt sich verlängern, denn der Index existiert über den GESAMTEN Zeitraum der Auswertung, auch in den Jahren, in denen der Titel noch nicht notiert war; das zweite nicht, es bleibt dort gemessen, wo der Titel da war. Daraus Mittelwert, Varianz und Kovarianz:

Mittel_i = α_i + β_i · Mittel(B_i über den ganzen Zeitraum)  ·  var_i = β_i² var(B_i über alles) + var(e_i)  ·  cov_ij = β_i β_j cov(B_i, B_j über alles) + cov(e_i, e_j an den Tagen beider)

Es wird kein Kurs erfunden: Es wird nur gesagt, dass man von diesem Titel weiß, wie stark er sich mit seinem Markt bewegt und wie stark er auf eigene Rechnung schwankte, und dass man den Markt seit fünfundzwanzig Jahren kennt. Ein über den ganzen Zeitraum vorhandener Titel bleibt unberührt — «der Index über alles» und «der Index in seinem Zeitraum» sind dasselbe, und die Kleinste-Quadrate-Zerlegung macht β²var(B) + var(e) exakt zu seiner Stichprobenvarianz: Die Verlängerung ist null. Es braucht daher keine Schwelle zwischen «kurzer» und «langer» Historie. Gemessen: Ein 2023 notierter Titel unter Titeln mit fünfundzwanzig Jahren Historie geht von 16,9% auf 23,0% Jahresvolatilität — die seiner Vergleichbaren — weil er die Krisen seines Marktes erbt, die er nicht erlebt hat, und seine erwartete Rendite fällt von 28,5% auf 20,7%.

Jedes Stück der Rechnung — das Beta, die Indexmomente, die Überlappungstage — hängt allein von diesem Titel und seinem Index ab; die Residualkovarianz allein vom Paar. Ein weiterer Titel in der Auswertung ändert keine dieser Größen. Unter 60 gemeinsamen Beobachtungen mit dem Index ist das Beta Rauschen und es wird nichts verlängert; das Beta wird bei ±3 gekappt; kommt der Index nicht von der Quelle, bleibt dieser Markt unverlängert und die Auswertung läuft weiter. Die Ergebnisseite nennt die verlängerten Titel.

Stambaughs Methode (1997) bleibt implementiert und wird über eine Umgebungsvariable eingeschaltet, für wen die feinere Schätzung der Stabilität vorzieht. Nach Länge der Historie geordnet, werden auf dem langen Block L μ_L und Σ_LL mit allen seinen Beobachtungen geschätzt; im Überlappungszeitraum wird der kurze Block S auf den langen regressiert,

und die Momente des kurzen Blocks werden aus den vollen Momenten des langen Blocks rekonstruiert:

Die Zentrierung auf den Überlappungsmittelwert in (7) macht (8) zu einer echten Korrektur: Der Mittelwert des jungen Titels wird über sein Beta auf den langen Zeitraum übertragen, also dafür korrigiert, dass sein Notierungsfenster ein Bullen- oder Bärenmarkt war.

Die positive Semidefinitheit des Ergebnisses ist algebraisch, nicht numerisch. Die gemeinsame Matrix faktorisiert als Kongruenz einer Blockdiagonalen:

Solange Σ_LL und Σ_ε positiv semidefinit sind, ist es auch das Ergebnis.

3.5Regularisierung der Regression (optionales Verfahren)

Bei hundert langen Titeln und zweihundert Überlappungstagen ist die gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung rangdefizient: Sie würde Rauschen anpassen, und die Betas wären wertlos. Regressiert wird daher auf die ersten k Hauptkomponenten von Σ_LL, konstruktionsbedingt orthogonal, mit

also mindestens zehn Überlappungsbeobachtungen je Komponente. Die Koeffizienten kehren dann als B = β′V′ in den Titelraum zurück, wobei V die Komponenten spaltenweise enthält. Bei reichlicher Überlappung und wenigen angeforderten Komponenten stimmt das Ergebnis mit der gewöhnlichen Kleinste-Quadrate-Schätzung überein.

Unter 20 Überlappungstagen wird gar nicht regressiert: Ein falsches Beta ist schlimmer als ein Titel weniger, denn es pflanzt sich über seine gesamte Kovarianzzeile fort. Diese Titel bleiben draußen, und die Seite sagt es.

3.6Annualisierung

4Risikofreier Zins

Sharpe ist Überrendite geteilt durch Volatilität, der Zins ist also kein Detail: Er ist die halbe Zählergröße. Zudem muss es der Zins jener Währung sein, in der die Rendite gemessen wird — SOFR von einem in Euro notierten Portfolio abzuziehen ist keine Näherung, sondern ein Einheitenfehler.

4.1Quellen und Konvention

Verwendet werden die offiziellen Tagesgeldsätze: €STR der Europäischen Zentralbank für den Euro, SOFR der Federal Reserve Bank of New York für den Dollar. Beide werden in ACT/360 quotiert und vor Eintritt in den Sharpe auf das Kalenderjahr umgerechnet:

Ohne diesen Schritt bliebe der Zins um 1,4% zu niedrig. Der verwendete Wert, die Quelle und der Stichtag stehen neben dem Sharpe jedes Portfolios: Wer zwei Zahlen vergleicht, muss sehen können, ob sie mit demselben Maß gemessen wurden.

4.2Körbe mit mehreren Währungen

Wählt der Auswertende die Referenzwährung, wird deren Zins verwendet und sonst nichts: Der risikofreie Zins ist, was stillliegendes Geld bringt, und dieses Geld hält der Auswertende, in seiner Währung.

Bei internen Aufrufen, wo niemand gewählt hat, ist der Korb bereits in einer zusammengesetzten Einheit gemessen — Renditen werden nicht umgerechnet —, und das risikofreie Gegenstück dieser Einheit ist das Mittel der Zinsen derselben Währungen. Die richtigen Gewichte wären die des Portfolios, die aber erst nach dem Optimieren bekannt sind, während das Optimieren den Zins braucht: Verwendet werden daher die Anteile des Universums, also wie viele Titel je Währung, und der nicht von einer Primärquelle gedeckte Teil wird auf den gedeckten umgewichtet.

wobei π_v der Anteil der in Währung v notierten Titel ist und 𝒞 die Menge der Währungen mit eingerichteter Primärquelle. Antwortet keine Quelle, ist der Zins null, und die Seite sagt es: Sharpe ist dann wieder das Verhältnis von Rendite zu Schwankung.

5Portfoliokennzahlen

5.1Rendite, Risiko, Sharpe

5.2Value at Risk

Der VaR ist historisch, nicht parametrisch: Die Reihe der Tagesrenditen des Portfolios wird gebildet und ihr Perzentil genommen. Für das Konfidenzniveau c,

berechnet auf den Niveaus c ∈ {0,90; 0,95; 0,99}. Die drei Niveaus wiederholen einander nicht: 90 sagt, wie ein gewöhnlicher schlechter Tag aussieht, 99 wie ein wirklich schlechter, und der Abstand zwischen beiden sagt, wie schwer der Rand wiegt — ob das Portfolio langsam oder ruckartig verliert.

6Die beiden Portfolios

6.1Zulässige Menge

Nur Long-Positionen und voll investiert. Die vom Auswertenden gesetzten Mindestgewichte gehen als untere Schranke jeder Variablen ein:

Keine Leerverkäufe, kein Hebel, keine Obergrenze je Titel. Die Menge ist ein konvexes, kompaktes Polytop, nichtleer solange 1′m ≤ 1.

6.2Minimale Varianz

Minimiert wird die Varianz, nicht die Volatilität: Die Wurzel verschiebt das Minimum nicht, verschlechtert aber die Kondition des Gradienten nahe null. Das Problem ist ein konvexes QP und wird mit SLSQP von zwei Startpunkten gelöst — Gleichgewichtung und inverse Varianz —, wobei der bessere gewählt wird.

6.3Tangentialportfolio

Die Sharpe-Ratio direkt zu maximieren ist ein nicht konvexes Problem: Ein von einem einzigen Punkt gestarteter Löser kann in einem lokalen Maximum stehenbleiben, und der «optimale» Punkt landet außerhalb der Linie. Verwendet wird daher die Umformulierung von Cornuéjols und Tütüncü. Mit dem Überschuss e = μ − r_f1 löst man, falls max_i e_i > 0,

und normiert:

Problem (19) ist konvex, hat also ein eindeutiges globales Minimum, und (20) liefert genau das Tangentialportfolio: Die Sharpe-Ratio ist skaleninvariant, und das macht die abschließende Normierung zulässig.

Schlägt kein Titel den risikofreien Zins, existiert die Tangente nicht — keine von r_f ausgehende Gerade berührt die Linie von oben — und die Seite zeigt das Minimum-Varianz-Portfolio und benennt den Fall.

6.4Die Mindestgewichte in der Hilfsvariablen

In (19) wird nicht über die Gewichte optimiert, sondern über y, und eine untere Schranke für w ist keine für y: Sie hängt von 1′y ab, selbst eine Variable. Die Bedingung lässt sich aber in y umschreiben und wird linear — das Problem bleibt also ein konvexes QP:

6.5Nebenbedingungen konstruktionsbedingt exakt

Ein numerischer Löser hält Schranken innerhalb seiner Toleranz ein, und «innerhalb der Toleranz» ist nicht «immer»: Ein Gewicht kann bei 9,9998% landen, wo 10% verlangt waren. Bei einer vom Auswertenden gesetzten Bedingung ist das nicht hinnehmbar. Jedes zulässige Portfolio lässt sich auf genau eine Weise schreiben,

und die Zuordnung ist eineindeutig. Die Lösung des Lösers wird daher auf diese Parametrisierung gebracht: Man nimmt den über die Mindestgewichte hinausgehenden Teil, skaliert ihn auf Summe eins und baut w wieder auf. Das Ergebnis hält die Mindestgewichte auf die Ziffer genau ein, nicht auf die Toleranz.

6.6Auswahl unter den Kandidaten

Neben der QP-Lösung werden als Sicherheitsnetz zwei direkte Maximierungen von verschiedenen Startpunkten berechnet. Unter den Kandidaten gewinnt die höchste auf sechs Stellen gerundete Sharpe-Ratio und bei Gleichstand die höhere Rendite: gleicher Preis in Schwankung, mehr Ergebnis. Ohne die Toleranz wären zwei Sharpe-Werte nie gleich — sie unterscheiden sich in der fünfzehnten Stelle — und das zweite Kriterium käme nie zum Zug.

7Effizienzlinie

7.1Das parametrische Problem

Für jede Zielrendite wird ein konvexes QP gelöst:

mit gleichmäßig zwischen der Rendite des Minimum-Varianz-Portfolios und der des Extrempunkts verteilten R_k. Ohne Nebenbedingungen ist der Extrempunkt der beste Einzeltitel; mit Mindestgewichten kann nicht mehr alles auf einen gelegt werden, und er wird zu «alles, was übrig bleibt, auf den besten».

Der effiziente Ast nutzt 70 Punkte nach oben; der Ast der dominierten Portfolios 40 nach unten, wobei arg max bei der Wahl des Extrempunkts durch arg min ersetzt wird. Zusammen bilden die beiden Äste den Rand der zulässigen Region, die Geschossform der Lehrbücher.

7.2Verfeinerungsreihenfolge

Die Punkte werden nicht von links nach rechts gelöst, sondern durch fortgesetzte Halbierung: zuerst die beiden Enden, dann der Mittelpunkt, dann die Mittelpunkte der beiden Hälften und so fort. Zwei nützliche Folgen. Erstens: Jeder neue Punkt liegt zwischen zwei bereits gelösten und startet daher aus der Interpolation ihrer Lösungen — entlang der Linie verschieben sich die Gewichte fast linear, und der Löser kommt nahezu konvergiert an. Zweitens: Geht die Zeit aus, verliert man die Dichte der Kurve, nicht ihre Ausdehnung.

Die Zeitprüfung erfolgt vor Beginn eines Punktes, nicht danach: Die Kosten werden als Mittel der bereits gelösten Punkte geschätzt, und der nächste wird nur begonnen, wenn Platz für zwei ist. Die ersten 17 Punkte werden in jedem Fall gelöst — unter dieser Schwelle gibt es keine Kurve, nur einen Streckenzug.

8Wolke zufälliger Portfolios

Der Hintergrund der Grafik ist eine Stichprobe zufällig gezogener zulässiger Portfolios. Ein gleichverteiltes Dirichlet schiene die naheliegende Wahl, doch bei n Anlagen ballen sich die Gewichte um 1/n: Die Wolke wird ein zentraler Fleck, der der Linie nie nahekommt und sie von den Daten losgelöst wirken lässt.

Gezogen wird daher aus einer Mischung symmetrischer Dirichlet-Verteilungen mit variabler Konzentration:

mit Wahrscheinlichkeiten (0,25; 0,30; 0,25; 0,20). Kleine α liefern konzentrierte Portfolios nahe den Ecken des Simplex, große α breit verteilte. Zusammen decken sie die zulässige Region wirklich ab.

Es werden 40 000 Ziehungen bis dreißig Titel und darüber 20 000 vorgenommen, mit festem Startwert — dieselbe Auswertung liefert immer dasselbe Bild — und in Blöcken von 4 000 Szenarien berechnet, sodass der Speicher nicht von der Zahl der Ziehungen abhängt.

In der Zeichnung ist jedes Szenario ein Punkt, eingefärbt nach der eigenen Sharpe-Ratio auf der viridis-Skala. Es kommen nicht alle ins Bild: gezeichnet wird jeder k-te, mit festem und nicht zufälligem k, bis höchstens zwölftausend Punkte. Die Stichprobe ist damit regelmäßig — gleiche Form und gleiche relative Dichte wie die vollständige Menge — und der Speicherbedarf der Zeichnung wächst nicht mit der Zahl der Ziehungen.

9Die drei Strukturkennzahlen

Neben den beiden Portfolios zeigt die Seite drei Zahlen von 0 bis 100, die weder Rendite noch Risiko enthalten. Alle drei beantworten dieselbe Frage auf verschiedenen Ebenen — wie sehr das Portfolio auf einer einzigen Sache ruht — und heißen Unabhängigkeit, Konzentration und Vielfalt.

9.1Die gemeinsame Kurve

Zwei der drei Kennzahlen gehen von einer effektiven Anzahl aus und machen daraus mit derselben Funktion eine Bewertung, damit «54» auf beiden Karten dasselbe bedeutet:

auf ganze Zahlen gerundet und auf [0, 100] beschnitten. Die Kurve sättigt: 1 effektive Einheit zählt 0, 2 zählen 28, 3 zählen 49, 5 zählen 74, 8 zählen 90. Von acht auf zehn ändert wenig, und das ist richtig — der wirkliche Unterschied liegt zwischen eins und drei.

9.2Unabhängigkeit

Wie viele verschiedene Titel man in Wahrheit hält. Aus der Korrelationsmatrix, die aus der bereits geschätzten Kovarianz folgt,

nimmt man die Eigenwerte λ₁, …, λ_n und zählt die effektive Zahl unabhängiger Richtungen als Partizipationsverhältnis des Spektrums:

Die Gleichheit rechts gilt, weil die Spur einer Korrelationsmatrix n ist. Der Wert wird auf [1, n] beschnitten, und die Bewertung ist v(N_ind). Fünf Titel, alle mit 0,8 korreliert, ergeben 1,4: fünf Namen, eine einzige Wette.

Die Karte zeigt außerdem die mittlere Korrelation aller Paare und das ähnlichste Paar — dasselbe C, anders gelesen, keine zusätzliche Messung.

9.3Konzentration

Wie stark das Portfolio von wenigen Titeln abhängt. Auf der optimalen Allokation w berechnet man den Kehrwert des Herfindahl-Index:

und es ist die Zahl der Titel, die bei gleicher Gewichtung dieselbe Konzentration ergäben: zehn zu je 10% ergeben zehn, einer zu 90% mit neun Resten ergibt etwa eins. Die Bewertung ist wieder v(N_eff).

Unabhängigkeit und Konzentration können gegenteilige Antworten geben, und beide werden gebraucht: Zehn identische Titel sind kaum unabhängig, aber kaum konzentriert; zwei unkorrelierte Titel sind unabhängig, aber stark konzentriert. Die große Zahl der Karte läuft mit der Bewertung — höher heißt breiter verteiltes Gewicht — während das Wort daneben in die Gegenrichtung läuft, denn schlecht verteiltes Gewicht ist hohe Konzentration.

9.4Vielfalt

Auf wie vielen verschiedenen Kategorien das optimale Portfolio ruht. Betrachtet wird es durch drei Linsen — Anlageart, Region, Branche —, gewonnen aus den Stammdaten des Katalogs und, bei Fonds, aus dem Namen des Instruments.

Für jede Linse ist mit den auf den klassifizierten Teil normierten Anteilen q₁, …, q_K die effektive Zahl der Kategorien wieder ein inverser Herfindahl:

Die beiden entstehenden Skalen unterscheiden sich jedoch, und zwar absichtlich. Die Anlageart hat einen bekannten Nenner — es gibt drei Familien: Aktien, Anleihen, Rohstoffe — die Bewertung kann also «eine von drei» sagen statt «weit vom theoretischen Maximum»:

Region und Branche haben keine feste Gesamtzahl — die Weltregionen sind fünf, die Branchen elf — und nutzen eine Sättigungskurve, geeicht darauf, wie viele Kategorien es wirklich gibt, aufgesetzt auf einen Skalenboden ungleich null:

Eine Linse geht nur in die Bewertung ein, wenn sie mindestens 50% des Portfolios abdeckt: darunter weiß sie zu wenig, und sie falsch zu zählen ist schlimmer, als sie nicht zu zählen. Die angezeigten Prozentsätze beziehen sich dagegen stets nur auf den Teil, für den die Frage gilt — «welche Branche bist du?» an einen Goldbarren ist keine unbeantwortete Frage, sondern eine, die sich nicht stellt.

9.5Linsengewichte und Portfolios einer einzigen Anlageklasse

Im Regelfall trägt die Anlageklasse drei Viertel der Bewertung und die Geografie ein Viertel: Die Anlageklasse entscheidet, von welcher Art Risiko das Portfolio abhängt. Die Branche wird gezeigt, wiegt aber nicht — sie ist die lauteste Linse und wiederholt, was die Konzentration bereits besser sagt.

Ein reiner Aktienkorb hat aber konstruktionsbedingt nur eine Anlageklasse, und mit den gewöhnlichen Gewichten stünde die Hauptlinse bei 33 und zöge drei Viertel des Urteils mit. Diese Vielfalt existiert jedoch — nicht auf Ebene der Anlageklasse, ein Stockwerk tiefer, in Branchen und Regionen. Mit

als Grad der «einzigen Klasse» gleiten die Gewichte stetig zwischen den beiden Einstellungen:

Die Rohbewertung ist das gewichtete Mittel der tatsächlich gewichteten Linsen, auf das zwei Korrekturen wirken.

Die Aktienkorrektur. Die Kategorienzählung ist richtungsblind: 80% Aktien und 20% Anleihen hat dieselbe Vielfalt wie das Gegenteil, doch Letzteres ist ein Portfolio ohne Motor. Mit a als Aktienanteil des klassifizierten Teils,

Die Strafe für die einzige Klasse. Das Gewicht zu verschieben ist kein Freispruch: Ein reines Aktienportfolio hängt, so gut es auch über Branchen verteilt ist, von einer einzigen Sache ab — fällt die Börse, fällt alles zusammen.

und die Endbewertung ist

Die Obergrenze für eine einzige Klasse bleibt 80% derjenigen mit wirklich mehr als einer, und nun sagen es zwei Dinge zusammen statt eines einzelnen Multiplikators: die auf 33 festgenagelte Anlageart im gewichteten Mittel und (35) für den Rest. Tatsächlich gilt 0,20 · 33 + 0,80 · 100 = 86,6 und 86,6 · 0,92 = 80.

Übersteigt keine Linse die Abdeckungsschwelle, wird die Vielfalt nicht bewertet: Die Karte bleibt ohne Note, statt eine erfundene zu zeigen.

10BlissPoint Score

Das arithmetische Mittel der verfügbaren Kennzahlen, gerundet:

Die drei Linsen wiegen gleich: Es gibt keinen Grund zu sagen, eine zähle mehr als die anderen, und eine willkürliche Gewichtung wäre schwerer zu erklären als zu schreiben. Die Vielfalt kann fehlen — ein Portfolio aus reinen Multi-Asset-Fonds hat für die Hälfte seines Gewichts weder Branche noch Land — dann wird über die beiden übrigen gemittelt und angegeben, auf wie vielen Linsen es ruht. Unter zwei wird nichts berechnet: Ein Mittel aus einer ist kein Mittel, sondern dieselbe Bewertung unter anderem Namen.

Die Seite zeigt außerdem, welche der drei die niedrigste ist, denn das ist die Information, die das Mittel auslöscht — und fast immer die, die man als Nächstes wissen will.

11Lesestufen

Die Stufen sollen vermitteln, ob eine Zahl viel oder wenig ist, sonst nichts. Sie sind kein Standard und keine Prognose: Sie hängen vom Zeitraum und den ausgewerteten Daten ab, und dasselbe Portfolio kann die Stufe wechseln, wenn sich das historische Fenster ändert.

Die Nullschwelle ist die einzige nicht willkürliche der vier beim Sharpe, denn sie dreht das Vorzeichen der Bedeutung um: darunter hat das Portfolio weniger als den risikofreien Zins erbracht, und die ertragene Schwankung wurde nicht bezahlt. Über 2 ist das Verhältnis so gut, dass es fast immer von einem glücklichen historischen Fenster abhängt statt von einer stabilen Eigenschaft — darum trägt die höchste Stufe eine Warnung statt eines Kompliments.

12Parameter

Alle Konstanten, die in die Rechnungen eingehen, mit dem geltenden Wert. Sie sind im Code festgelegt und für jede Auswertung gleich: Zwei verschiedene Körbe sind vergleichbar, weil sie mit demselben Maß gemessen wurden.

13Erklärte Grenzen

Was folgt, ist keine Liste von Mängeln, die eines Tages behoben werden: Es sind die Bedingungen, unter denen die Zahlen dieses Dokuments gelten. Wer sie nutzt, muss sie kennen.

13.1Es ist alles Historie

Mittelwert und Kovarianz sind Schätzungen auf vergangenen Kursen. Vergangene Rendite sagt künftige nicht voraus, keine gezeigte Zahl ist eine Prognose und kein Prozentsatz ein Versprechen. Insbesondere ist der Mittelwert die mit Abstand fragilste Eingangsgröße der Mittelwert-Varianz-Theorie: Kleine Schätzfehler verstärken sich in den Gewichten. Deshalb zeigt die Seite auch das Minimum-Varianz-Portfolio, das vom Mittelwert gar nicht abhängt.

13.2Keine Währungsumrechnung

Renditen sind Kursänderungen in der Notierungswährung jedes Titels, ohne Umrechnung. Ein gemischter Korb wird daher in einer zusammengesetzten Einheit gemessen. Die Umrechnung wurde umgesetzt und zurückgenommen: theoretisch korrekt, verlangte sie Wechselkursreihen, und jeder fehlende Kurs war ein weiterer ausgeschlossener Titel bei einer Quelle, die schon mit den Kursen kämpft — im Gegenzug verschob sie die Linie, ohne dass man sagen konnte, ob die Bewegung vom Wechselkurs oder von einem fehlenden Datum kam.

13.3Ein delisteter Titel verkürzt weiterhin das Fenster

Historien, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten beginnen, sind kein Problem mehr: Jeder Titel bringt seine eigene mit, und die Mittelwerte der jüngeren werden am Index ihres Marktes ausgerichtet (§3.4). Die rechte Seite dagegen schon: Ein Titel, der vor den anderen zu notieren aufhörte, verkürzt das Fenster weiterhin für alle. Eine Veröffentlichungsverzögerung innerhalb der fünf Fortschreibungstage wird verziehen — sonst nähme abends um sechs ein Mailänder Titel einem New Yorker die letzte Sitzung — doch ein echtes Ende bleibt ein Ende und wird gemeinsam bezahlt.

13.4Die Klassifikation ist nicht perfekt

Die drei Linsen aus §9.4 stützen sich auf die Stammdaten des Katalogs und, bei Fonds, auf das, was der Name angibt. Ein Fonds, dessen Name nicht sagt, was er enthält, bleibt unklassifiziert, und die Seite schreibt ihn mit Namen und Gewicht aus, statt ihn in eine Schublade zu zwingen. Die Unterscheidung zwischen «fehlendem Datum» und «Frage, die sich nicht stellt» ist ausdrücklich: Gold hat keine Branche, und «unklassifiziert» zu sagen hieße, etwas Falsches zu sagen.

13.5Der VaR ist In-Sample

Er ist ein Perzentil der Renditen, beobachtet über dasselbe Fenster, auf dem das Portfolio optimiert wurde. Er ist keine Out-of-Sample-Schätzung und sagt nichts über Ränder, die sich in diesem Fenster nicht zeigten.

13.6Kein Hebel, keine Leerverkäufe, keine Kosten

Die zulässige Menge (17) schließt Leerverkäufe und Hebel aus. Gebühren, Geld-Brief-Spannen, Steuern und Umschichtungskosten gehen nicht in die Rechnung ein: Die Gewichte sind ein theoretischer Zielpunkt, keine auszuführende Order.

14Literatur

• Markowitz, H. (1952). «Portfolio Selection». The Journal of Finance, 7(1), 77–91.
• Sharpe, W. F. (1994). «The Sharpe Ratio». The Journal of Portfolio Management, 21(1), 49–58.
• Ledoit, O. und Wolf, M. (2004). «A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices». Journal of Multivariate Analysis, 88(2), 365–411.
• Stambaugh, R. F. (1997). «Analyzing investments whose histories differ in length». Journal of Financial Economics, 45(3), 285–331.
• Cornuéjols, G. und Tütüncü, R. (2007). Optimization Methods in Finance. Cambridge University Press — konvexe Umformulierung des Tangentialportfolios.
• Meucci, A. (2009). «Managing Diversification». Risk, 22(5), 74–79 — effektive Zahl unabhängiger Wetten.
• Hirschman, A. O. (1964). «The Paternity of an Index». The American Economic Review, 54(5), 761 — der in Gl. (28) und (29) aufgegriffene Index.
• Kraft, D. (1988). A software package for sequential quadratic programming. DFVLR-FB 88-28 — der für (18), (19) und (23) verwendete SLSQP-Algorithmus.

15Änderungen an der Methode

Aufgeführt sind hier die Änderungen, die ein Ergebnis oder den Weg dorthin verändern. Reine Darstellungsänderungen erscheinen nicht: sie bewegen keine Zahl.

15.1Version 1.1 — die Währung erklärt die Quelle

• Notierungswährung. Sie wurde zuvor aus dem Symbolsuffix und dann aus dem internen Katalog abgeleitet. Beides sind Annahmen, und in London falsche: an derselben Börse notieren Linien in Dollar, in Pfund und in Pence. Sie stammt jetzt aus den Metadaten derselben Antwort, die die Kurse liefert, und wird gespeichert. Eine falsche Währung bedeutete, einem Titel über die gesamte Historie den Wechselkurs einer anderen zuzuweisen.
• Kurse in Untereinheiten. London notiert etliche Linien in Pence, und die Quelle sagt es («GBp»). Der Faktor hundert kürzt sich in Renditen, nicht aber in einem Gegenwert: aus einem Betrag abgeleitete Stückzahlen fielen hundertmal zu klein aus. Kurse in Untereinheiten werden nun beim Eintritt auf die Haupteinheit zurückgeführt.
• Wechselkursrisiko. Es ist standardmäßig einbezogen: Kurse werden vor jeder Schätzung in die Referenzwährung umgerechnet, sodass der Wechselkurs in Mittelwert, Volatilität und vor allem die Korrelationen eingeht. Ein Schalter schließt es aus.
• Mindestanteile je Kategorie. Neben dem Mindestgewicht eines Titels lässt sich ein Mindestanteil je Anlageart, Region oder Sektor vorgeben. Er geht als lineare Ungleichung in die Gewichte ein, mit Zulässigkeitsprüfung vor der Optimierung und exakter Reparatur danach.
• BlissPoint Score. Er ist nicht mehr der Mittelwert der drei Strukturindizes. Er ist die Performancenote — eine monotone Funktion der Sharpe-Ratio, also über Analysen hinweg vergleichbar — um höchstens ein Fünftel durch die Portfoliostruktur korrigiert. Siehe §10.
• Zusammensetzung, drei Achsen statt einer. Die Vielfalt des Korbs ist kein einzelner Index mehr: sie wird getrennt nach Anlageart, Region und Sektor gelesen. Rohstoffe und Kryptowährungen zählen als globale Exponierung.
• Stabilität. Bei gleichen Kursen und gleichem risikofreiem Zins liefern zwei Analysen desselben Korbs identische Zahlen. Die von der Maschinenlast abhängigen Größen — Dichte der Punktwolke in §8, Anzahl der Kurvenpunkte in §7 — betreffen nur die Zeichnung.